Olà pessoal,
O problema abaixo jà passou pela lista, mas nÃo tinha entendido a resoluÃÃo, foi a partir daà que resolvi tentar uma outra resoluÃÃo para ele. Abaixo esta o problema e a resoluÃÃo. Se errei em algo, me digam por favor !
Seja n um nÃmero natural, n > 3.
Demonstrar que entre os mÃltiplos de 9 menores que 10^n hà mais nÃmeros com a soma de seus dÃgitos igual a 9(n-2) que nÃmeros com a soma de seus dÃgitos igual a 9(n-1).
Para n = 4 (caso 9(n-2))
mÃltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dÃgitos igual a 9(4-2) = 18
x + y + z + w = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I)
x + y + z = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II)
x + y = 18 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III)
Por funÃÃes geratrizes tem-se que:
O nÃmero de soluÃÃes de (I) Ã 670
O nÃmero de soluÃÃes de (II) Ã 55
O nÃmero de soluÃÃes de (III) Ã 1
TOTAL = 670 + 55 + 1 = 726
Para n = 4 (caso 9(n-1))
mÃltiplos de 9 menores que 10^4 e soma dos dÃgitos igual a 9(4-1) = 27
x + y + z + w = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (I-a)
x + y + z = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (II-b)
x + y = 27 (Para 0 =< x,y,z,w =< 9) (III-c)
Por funÃÃes geratrizes tem-se que:
O nÃmero de soluÃÃes de (I-a) Ã 220
O nÃmero de soluÃÃes de (II-b) Ã 1
O nÃmero de soluÃÃes de (III-c) Ã 0
TOTAL = 220 + 1 + 0 = 221
Prova-se, pois, que para n = 4 (base da induÃÃo) a afirmaÃÃo do enunciado està correta !
Vou tentar resolver por induÃÃo, atravÃs das etapas:
HipÃtese de induÃÃo: Admitir que valha para qualquer n (n > 4)
Provar: Vale para qualquer n + 1 (n > 4)
Admitindo que seja correto o caso:
Para mÃltiplos de 9 menores que 10^n
9(n-2) > 9(n-1) OU como preferirem:
9n â 18 > 9n â 9
n â 2 > n â 1 (acho que eu deveria fazer isso no inÃcio, pois iria facilitar... De qualquer forma vou continuar !)
Temos que provar que:
mÃltiplos de 9 menores que 10^(n+1) e ...
Obs: 10^(n+1) = 10^n / 10 (=soluÃÃes em II e III. E em II-b e III-c, ou seja, nÃo contamos as soluÃÃes I e I-a)
...e soma dos dÃgitos igual a 9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 2). Calculando:
9((n+1) - 2) > 9((n+1) - 1)
9(n-1) > 9n (dividindo por 9)
n-1 > n (somando (-1) em ambos os lados)
n-2 > n-1 (multiplicando por 9)
9(n-2) > 9(n-1) HIPÃTESE DE INDUÃÃO
Està certa esta resoluÃÃo?
