Aqui vao dois que estao me dando uma canseira: 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2 sao todos somas de dois quadrados de inteiros.
2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma raiz primitiva mod p. No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece na decomposicao desse inteiro com expoente par. Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra hipotese vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar. Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o quadrado de um inteiro par. Isso resultou em: n = 4y^2 + 0^2 n+1 = 4y^2 + 1^2 n+2 = 4y^2 + 2. Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos: 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas solucoes, o que resolve o problema. No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples. Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima. Por exemplo: 72 = 6^2 + 6^2 73 = 8^2 + 3^2 74 = 7^2 + 5^2. Serah que eh possivel achar todas as solucoes? ***** No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro positivo, mas isso foi tudo que eu consegui. []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================