Existem v�rias maneiras de resolver o 1. Uma delas est� em http://www.teorema.mat.br/phpBB2/viewtopic.php?p=385#385 ----- Original Message ----- From: "Claudio Buffara" <[EMAIL PROTECTED]> To: "Lista OBM" <[EMAIL PROTECTED]> Sent: Monday, October 18, 2004 9:55 AM Subject: [obm-l] Somas de Quadrados e Raizes Primitivas
> Aqui vao dois que estao me dando uma canseira: > > 1. Mostre que existe uma infinidade de inteiros n tais que n, n+1 e n+2 sao > todos somas de dois quadrados de inteiros. > > 2. Suponha que p = 2^n + 1 seja um primo maior do que 3. Prove que 3 eh uma > raiz primitiva mod p. > > No primeiro, eu usei o fato de que um inteiro positivo eh soma de dois > quadrados de inteiros se e somente se qualquer primo da forma 4k+3 aparece > na decomposicao desse inteiro com expoente par. > > Isso significa que n tem que ser multiplo de 4, pois qualquer outra hipotese > vai resultar em um dos tres inteiros sendo da forma 4k+3, indicando a > presenca de um primo dessa forma elevado a expoente impar. > > Sabendo disso, minha unica ideia foi buscar uma solucao em que n eh o > quadrado de um inteiro par. Isso resultou em: > n = 4y^2 + 0^2 > n+1 = 4y^2 + 1^2 > n+2 = 4y^2 + 2. > Forcando n+2 a ser da forma x^2 + x^2, teremos: > 4y^2 + 2 = x^2 + x^2 ==> x^2 - 2y^2 = 1 ==> equacao de Pell, com infinitas > solucoes, o que resolve o problema. > > No entanto, eu acho que deve haver uma solucao mais simples. > Alem disso nem todas as solucoes do prolema original sao da forma. acima. > Por exemplo: > 72 = 6^2 + 6^2 > 73 = 8^2 + 3^2 > 74 = 7^2 + 5^2. > Serah que eh possivel achar todas as solucoes? > > ***** > > No segundo, eh facil ver que n tem que ser da forma 2^m com m inteiro > positivo, mas isso foi tudo que eu consegui. > > []s, > Claudio. > > > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= --- Outgoing mail is certified Virus Free. Checked by AVG anti-virus system (http://www.grisoft.com). Version: 6.0.778 / Virus Database: 525 - Release Date: 15/10/2004 ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
