Artur Posenato ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >D�vidas: > >> Fa�a f(x) = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + 5x^4 - 6x^5 + ... >> N�o � muito dif�cil verificar que quer formalmente >> quer quando isto faz sentido, >> f(x) = (1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ...)^2. > > Voc� poderia provar essa rela��o acima? Sem >assumir que os termos da seq��ncia original n�o >crescem indefinidamente?
Bem, g(x) = 1 - x + x^2 - x^3 + - ... � uma s�rie que converge absolutamente para |x| < 1. Isso pode ser visto pelo crit�rio de Leibnitz, pois � uma s�rie alternada e |x^n| tende de forma decrescente para 0 se |x| < 1. Isso nos permite multiplicar g(x)*g(x) para obter f(x) = (1 - x + x^2 - + ...)^2 com intervalo de converg�ncia -1 < x < 1. Como g(x) � absolutamente convergente (para |x| < 1), ent�o f(x) tamb�m � e podemos associar e comutar os termos do produto g^2, obtendo a rela��o f(x) = 1 - 2x + 3x^3 - 4x^3 + - ... >> Ora, 1 - x + x^2 - x^3 + x^4 - x^5 + ... � a soma de >> uma PG >> e vale 1/(1+x). Substituindo x por 1 temos que, em >> algum sentido, >> f(1) = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + ... = 1/4. > > Essa equa��o para soma de PG � o resultado de um >limite quando 0<x<1, e voc� est� usando para x=1. Concordo com voc�, embora o Nicolau tenha feito a ressalva "em algum sentido"... Mas que sentido? >Al�m disso f(x) = 1/(1+x) onde x = 1 � 1/2 e me parece >muito contra-intuitivo que a soma de n�meros naturais >resulte em n�meros irracionais (mas, posso estar >enganado pois constantemente me surpreendo com os >limites). Voc� quis dizer n�meros inteiros e n�meros racionais, n�o? E est� certo! Nenhuma s�rie convergente envolvendo inteiros pode resultar num n�mero n�o inteiro... Isso decorre do fato de que uma tal s�rie converge se (e somente se) existe um n�mero finito de termos n�o nulos. Havendo portanto apenas um n�mero finito de inteiros a somar, isso prova que neste caso a intui��o est� certa, pois a soma de um n�mero finito de inteiros � ainda um inteiro. > Para mim, a forma mais natural de analisar seria: > >0 + 1 - 2 + 3... = (1 + 3 + 5 + ...)-(2 + 4 + 6 ...) > >que s�o duas PA's, onde SPA = (a1 + an)n/2 e agora as >suposi��es.1 - Soma-se sempre um n�mero par seguido de >um �mpar? (assim n seria igual para as duas PA�s) , >etc... Nem sempre � poss�vel usar associatividade e comutatividade para um n�mero infinito de termos numa s�rie. Neste caso, por exemplo, isso n�o � permitido, pois a s�rie n�o � absolutamente convergente (nem sequer � convergente). []s, Daniel ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
