--- Andr� Barreto
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Ol� Andr�.
� bem prov�vel que eu n�o seja a passoa mais
indicada para responder, mas caso eu esteja errado
espero que algu�m me corrija.
> 1) A defini��o de limite que eu vi foi feita em
> intervalo aberto. Por que em intervalo aberto?
> Poderia ser em intervalo fechado e se n�o por que?
> ex: Seja I um intervalo aberto ao qual pertence o
> n�mero real a seja f uma fun��o definida para x E I
> - {a}... (Gelson Iezzi, Fundamentos do Matem�tica
> Elementar).
Utiliza-se intervalo aberto pois para exist�ncia
do limite no ponto n�o � necess�rio que a fun��o seja
cont�nua neste ponto, ou sequer ela precisa ser
definida, como por exemplo f(x)=sen(x)/x, onde o
limite x->0 � um, mas a fun��o n�o � definida em zero.
> 2) Uma d�vida na teoria do livro do iezzi. Numa
> parte ele fala sobre ser importante perceber que
> (delta) depende de (�psilon), n�o percebi isso e
> al�m de n�o perceber n�o vejo porque o (�psilon) n�o
> deva depender tamb�m do (delta)...
Da defini��o de limite tem-se: "Para todo epsilon
existe um delta..." e n�o o contr�rio. Vou dar um
exemplo: Embora lim [x->1] (1/x) = 1 � verdadeiro, n�o
� verdadeiro que para todo delta existe um epsilon com
|1/x - 1|<epsilon para 0<|x-1|<delta. De fato, se
delta=1, n�o existe tal epsilon, como 1/x pode ser
arbitrariamente grande para 0<|x - 1|<1.
Al�m disso, qualquer fun��o limitada f
automaticamente satisfaz a condi��o quer
lim[x->a]f(x)=l � verdade ou n�o.
Este � um dos exerc�cios do livro 'Calculus -
Michael Spivak', se quiser saber um pouco mais � um
livro bom, se quiser se aprofundar mais talvez um
livro de an�lise.
> 3) A demonstra��o do teorema da unicidade do limite,
> n�o entendi aquela do livro do iezzi por redu��o ao
> absurdo... (observa��o: sei o que � redu��o ao
> absurdo mais n�o entendi uma parte do
> desenvolvimento).
N�o sei como � a do Iezzi, mas segue uma
alternativa que deve ter em qualquer livro de c�lculo.
Suponha que o limite n�o � �nico, entao:
d = delta e E = Epsilon
lim[x->a]f(x) = l e lim[x->a]f(x) = m, da�:
0<|x-a|<d1 => |f(x) - l|<E e 0<|x-a|<d2 => |f(x) -
m|<E.
Como � para qualquer E, escolho o mesmo E para os
dois.
Escolhento d = min(d1,d2), ent�o:
0<|x-a|<d => |f(x) - l|<E e |f(x) - m|<E.
Se l � diferente de m, ent�o |l-m|>0, ent�o tomo E =
|l-m|/2. Da�:
0<|x-a|<d => |f(x) - l|<|l-m|/2 e |f(x) - m|<|l-m|/2.
Assim:
|l-m| = |l+ f(x) - f(x) -m| < ou = |l-f(x) + |f(x) -
m| < |l-m|/2 + |l-m|/2 = |l-m|.
Absurdo.
Ok, espero ter ajudado. Espero tamb�m n�o ter cometido
nenhum erro, qualquer coisa me escreva.
Artur
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