Ol� pessoal!
Criei um m�todo num�rico para o c�lculo de ra�zes de fun��es reais, com uma vari�vel
real e gostaria de saber se existe algum professor de C�lculo Num�rico na lista, pois
aqui na UNESP de Ilha Solteira existe um �nico professor deste ramo (que n�o se
interessou pelo meu trabalho) e preciso de um orientador para poder apresentar o
trabalho em congressos e me ajudar a fazer algumas analises (de convergencia por
exemplo).
Criei um m�todo num�rico para o c�lculo de ra�zes de fun��es reais, com uma vari�vel
real.
O resumo do m�todo � o seguinte:
M�todo num�rico iterativo para determina��o de ra�zes reais de fun��es reais. O m�todo
se baseia em tra�ar circunfer�ncias com centro em (x0,f(x0)) e raio f(x0), sendo x0 um
valor inicial dado, e tomar uma das intersec��es da circunfer�ncia com a fun��o como
sendo o valor x1, e assim iterativamente at� que xn, resultado da n-�sima itera��o,
possa ser admitido como aproxima��o para o valor da raiz. O m�todo apresenta as
caracter�sticas de exigir a escolha de um �nico valor inicial, de possuir
converg�ncia garantida e de ter f�cil interpreta��o geom�trica, servindo tamb�m como
ferramenta did�tica em cursos de C�lculo Num�rico
Olhando geometricamente considera-se uma fun��o real f(x) cont�nua ao menos no
intervalo [x,x_0], no qual x � a raiz de f e x_0 � um valor tal que x_0 >x. Define-se
a circunfer�ncia C como a circunfer�ncia de centro (x_0,f(x_0)) e raio f(x_0)
conforme ilustrado pela fig em anexo.
Percebe-se que, sendo a fun��o cont�nua ao menos no intervalo entre a raiz e o ponto
x_0, garante-se que a circunfer�ncia intercepta a fun��o em pelo menos um ponto, de
abscissa x_1 e ordenada f(x_1).
O m�todo apresentado consiste em tra�ar uma nova circunfer�ncia de centro (x_1,f(x_1))
e raio f(x_1), que interceptar� um novo ponto da fun��o, de abscissa x_2 e ordenada
f(x_2), e assim iterativamente at� que se possa tomar xn, resultado da n-�sima
itera��o, como sendo aproximadamente uma raiz da fun��o. Tendo definido a
circunfer�ncia C, sua equa��o �:
(x_0-x_1)^2+(f(x-0)-f(x_1))^2=[f(x_0)]^2 (i)
Usando Aproxima��o de Taylor f(x)= S[n=0;+inf]f{n}(x_0).(x-x_0)^n/n! ({n} indica ordem
n para a derivada de f)utilizo so as duas primeiras parcelas desta formula:
f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0).(x_1-x_0) (ii)
Substituindo ii em i chego � equa��o geral dos x_k's do metodo: x_(k+1)=x_k + 'ou' -
sqrt[(f(x_k))^2/(1+(f'(x_k))^2)] (iii)
A partir dele consegui mostrar que a diferen�a entre os erros entre as itera��es k+1 e
k vale
-[(eps-x_k).f'(x_k)+0,5.(eps-x_k)^2.f'(c_k)]/sqrt(1+(f'(x_k))^2); c_k pertence a
(eps;x_k)
Como pode ser percebido geometricamente, o m�todo nunca encontrar� a raiz da fun��o,
j� que o valor xk s� seria igual a x se o raio da circunfer�ncia C fosse zero. Assim,
por maior que seja o n�mero de itera��es, o valor obtido ser� sempre uma aproxima��o.
Al�m disso, a equa��o geral do m�todo considera o valor negativo do (iii). Al�m de
este fato garantir a converg�ncia da s�rie num�rica (x_0; x_1; x_2; ...), pode-se
prever que | x_(k+1) | ser� sempre menor que | x_k |, o que exige a escolha de um
valor inicial maior que a raiz. No entanto, se por algum motivo for necess�rio
escolher x_0 menor que o poss�vel valor da raiz (por exemplo, se a continuidade da
fun��o s� puder ser garantida para valores menores que a raiz), basta considerar o
valor positivo do , na Equa��o 3.
Fiz algumas analises comparativas com Newton-Raphson para testar o metodo, alem disso
implementei - o em Python e depois plotei alguns graficos de (x_(k+1)-x_k) x n� d
itera��es
para uma fun��o fixa e sendo aplicado Newton-Raphson e meu m�todo.
Mas a quest�o que quero levantar � como fazer uma an�lise de convergencia do m�todo ?
como garantir que ele � ao menos linear ?
H� alguma maneira de se calcular sua ordem de converg�ncia?
Procurei varias bibliografias, mas nelas se mostra como foi feita para outros m�todos,
e n�o para um metodo generico.
Bom se alguem puder me ajudar, escrevendo, indicando um livro, ou algum professor, �
bem vindo.
Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia El�trica, 2�ano
UNESP - Ilha Solteira
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Acabe com aquelas janelinhas que pulam na sua tela.
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