Olá pessoal!
Criei um método numérico para o cálculo de raízes de funções reais, com uma variável
real e gostaria de saber se existe algum professor de Cálculo Numérico na lista, pois
aqui na UNESP de Ilha Solteira existe um único professor deste ramo (que não se
interessou pelo meu trabalho) e preciso de um orientador para poder apresentar o
trabalho em congressos e me ajudar a fazer algumas analises (de convergencia por
exemplo).
Criei um método numérico para o cálculo de raízes de funções reais, com uma variável
real.
O resumo do método é o seguinte:
Método numérico iterativo para determinação de raízes reais de funções reais. O método
se baseia em traçar circunferências com centro em (x0,f(x0)) e raio f(x0), sendo x0 um
valor inicial dado, e tomar uma das intersecções da circunferência com a função como
sendo o valor x1, e assim iterativamente até que xn, resultado da n-ésima iteração,
possa ser admitido como aproximação para o valor da raiz. O método apresenta as
características de exigir a escolha de um único valor inicial, de possuir
convergência garantida e de ter fácil interpretação geométrica, servindo também como
ferramenta didática em cursos de Cálculo Numérico
Olhando geometricamente considera-se uma função real f(x) contínua ao menos no
intervalo [x,x_0], no qual x é a raiz de f e x_0 é um valor tal que x_0 >x. Define-se
a circunferência C como a circunferência de centro (x_0,f(x_0)) e raio f(x_0)
conforme ilustrado pela fig em anexo.
Percebe-se que, sendo a função contínua ao menos no intervalo entre a raiz e o ponto
x_0, garante-se que a circunferência intercepta a função em pelo menos um ponto, de
abscissa x_1 e ordenada f(x_1).
O método apresentado consiste em traçar uma nova circunferência de centro (x_1,f(x_1))
e raio f(x_1), que interceptará um novo ponto da função, de abscissa x_2 e ordenada
f(x_2), e assim iterativamente até que se possa tomar xn, resultado da n-ésima
iteração, como sendo aproximadamente uma raiz da função. Tendo definido a
circunferência C, sua equação é:
(x_0-x_1)^2+(f(x-0)-f(x_1))^2=[f(x_0)]^2 (i)
Usando Aproximação de Taylor f(x)= S[n=0;+inf]f{n}(x_0).(x-x_0)^n/n! ({n} indica ordem
n para a derivada de f)utilizo so as duas primeiras parcelas desta formula:
f(x_1)=f(x_0)+f'(x_0).(x_1-x_0) (ii)
Substituindo ii em i chego à equação geral dos x_k's do metodo: x_(k+1)=x_k + 'ou' -
sqrt[(f(x_k))^2/(1+(f'(x_k))^2)] (iii)
A partir dele consegui mostrar que a diferença entre os erros entre as iterações k+1 e
k vale
-[(eps-x_k).f'(x_k)+0,5.(eps-x_k)^2.f'(c_k)]/sqrt(1+(f'(x_k))^2); c_k pertence a
(eps;x_k)
Como pode ser percebido geometricamente, o método nunca encontrará a raiz da função,
já que o valor xk só seria igual a x se o raio da circunferência C fosse zero. Assim,
por maior que seja o número de iterações, o valor obtido será sempre uma aproximação.
Além disso, a equação geral do método considera o valor negativo do (iii). Além de
este fato garantir a convergência da série numérica (x_0; x_1; x_2; ...), pode-se
prever que | x_(k+1) | será sempre menor que | x_k |, o que exige a escolha de um
valor inicial maior que a raiz. No entanto, se por algum motivo for necessário
escolher x_0 menor que o possível valor da raiz (por exemplo, se a continuidade da
função só puder ser garantida para valores menores que a raiz), basta considerar o
valor positivo do , na Equação 3.
Fiz algumas analises comparativas com Newton-Raphson para testar o metodo, alem disso
implementei - o em Python e depois plotei alguns graficos de (x_(k+1)-x_k) x nº d
iterações
para uma função fixa e sendo aplicado Newton-Raphson e meu método.
Mas a questão que quero levantar é como fazer uma análise de convergencia do método ?
como garantir que ele é ao menos linear ?
Há alguma maneira de se calcular sua ordem de convergência?
Procurei varias bibliografias, mas nelas se mostra como foi feita para outros métodos,
e não para um metodo generico.
Bom se alguem puder me ajudar, escrevendo, indicando um livro, ou algum professor, é
bem vindo.
Atenciosamente,
Osvaldo Mello Sponquiado
Engenharia Elétrica, 2ºano
UNESP - Ilha Solteira
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