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carlos gomes escreveu: | Algum colega pode me ajudar com essa: | | Suponha que x, y, z e w s�o n�meros reais tais que: | | senx+seny+senz+senw=0 | cosx+cosy+cosz+cosw=0 | | Mostre que : | | (senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0 | [...]
Defini��o: S_r = {v | |v| = r} e B_r = {v | |v| <= r} (ou seja, S_r e
B_r s�o a circunfer�ncia e a bola fechada de raio r.Lema: Todos os vetores de B_2\{0} se escrevem unicamente (a menos da
ordem dos elementos) como soma de dois elementos de S_1.Demonstra��o: Pela lei dos cossenos, se u e v est�o em S_1 e fazem um
�ngulo de x, ent�o |u+v| = sqrt(2 + 2cos x), que � uma bije��o do
intervalo [0, pi) no intervalo (0, 2]. Aplicando uma rota��o conveniente
a u e v, podemos fazer u e v assumir qualquer vetor de S_{sqrt(2 + 2cos
x)}. Logo o lema est� demonstrado.Considere 4 vetores a, b, c e d em S_1, tais que a+b+c+d = 0. (note que os argumentos desses vetores satisfazem as hip�teses do enunciado, j� que as coordenadas dos vetores podem ser expressas como (sen x, cos x) e assim sucessivamente).
Ent�o, a+b = -(c+d). Mas (-c) + (-d) = -(c+d) = a + b, logo, pelo lema, podemos supor s.p.d.g. que a = -c e, analogamente, b = -d. Logo, se x, y, z, w s�o os argumentos de a, b, c e d, temos que sen x = -sen z, cos x = -cos z, sen y = -sen w e cos y = -cos w, e segue trivialmente que
(sen x)^2003 + (sen y)^2003 + (sen z)^2003 + (sen w)^2003 = (sen x)^2003 + (sen y)^2003 - (sen x)^2003 - (sen y)^2003 = 0.
(A demonstra��o acima tem um pequeno erro que n�o afeta a afirma��o-chave do problema, mas que precisa ser corrigido. Qual?)
[]s,
- -- F�bio Dias Moreira -----BEGIN PGP SIGNATURE----- Version: GnuPG v1.4.0 (MingW32) Comment: Using GnuPG with Thunderbird - http://enigmail.mozdev.org
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