Que tal assim (alerta: canhao geometrico em acao! Considere isto uma "vinganca
cearense" da geometria contra trigonometria e analitica. ;) ;) ):
Sejam A(cosx,senx), B(cosy, seny), C(cosz,senz) e D(cosw,senw) no plano
cartesiano. Entao ABCD eh um quadrilatero inscritivel no circulo de centro O e
raio 1.
Bom, considere o triangulo ABC, seu circuncentro O, baricentro G e ortocentro
H. "Sabemos que" (canhao!) os pontos O, G e H estao alinhados nesta ordem, com
OH=3OG (da reta de Euler). Mas, como as coordenadas de G sao a media aritmetica
das coordenadas de A, B e C, temos entao que as coordenadas de H serao
(cosx+cosy+cosz,senx+seny+senz).
Sua condicao entao eh equivalente a dizer que H e D sao simetricos com relacao
a O, isto eh, H estah tambem na circunferencia que contem A, B, C e D. --> Pera
ai, se o ortocentro H de ABC estah no circulo que contem A, B e C, entao H deve
ser um dos pontos A, B ou C e o triangulo ABC deve ser retangulo! Digamos, sem
perda de generalizacao, que H=A. Como D eh o simetrico de H com relacao ao
centro O, ABDC serah um retangulo, ou seja, A=-D e B=-C e dai segue o resultado
final.
--> Talvez este passo mereca mais atencao. Cada altura de ABC corta o circulo
circunscrito em dois pontos: A e um ponto do arco BC que nao contem A; B e um
ponto do arco AC que nao contem B; C e um ponto do arco AB. Se H nao fosse A
nem B nem C, teria de estar nos arcos AB, AC e BC ao mesmo tempo, o que eh um
absurdo.
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Agora, se voce preferir algebra e trigonometria...
Temos que (senx+seny+senz)^2+(cosx+cosy+cosz)^2=1. Abrindo tudo, usando
identidades:
senxseny+senysenz+senxsenz+cosxcosy+cosycosz+cosxcosz+1=0
cos(x-y)+cos(x-z)+cos(y-z)+1=0
Usando cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) e cos2A=2cos^2(A/2)-1
2cos(x-(y+z)/2)cos((y-z)/2)+2cos^2((y-z)/2)=0
cos((y-z)/2) . (cos(x-(y+z)/2)+cos(y-z)/2) = 0
cos((y-z)/2).cos((x-z)/2).cos((x-y)/2)=0
Sem perda de generalidade, digamos que o ultimo eh que dah zero (os outros
casos sao analogos). Entao:
(x-y)/2=kpi+pi/2
x-y=2kpi+pi
cosx=-cosy e senx=-seny
Jogando de volta na equacao original, temos que cosz=-cosw e senz=-senw. Acabou.
Abraco,
Ralph
-----Original Message-----
From: [EMAIL PROTECTED] on behalf of carlos gomes
Sent: Sat 2/12/2005 4:05 PM
To: [email protected]
Cc:
Subject: [obm-l] Senos e cossenos estranhos...
Algum colega pode me ajudar com essa:
Suponha que x, y, z e w s�o n�meros reais tais que:
senx+seny+senz+senw=0
cosx+cosy+cosz+cosw=0
Mostre que :
(senx)^2003+(seny)^2003+(senz)^2003+(senw)^2003=0
Grato, e um forte abra�o a todos,
Cgomes.
--
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