Última ressalva, agora em (***) .... x_2(n) == teto(n/2) = quantidade de números ímpares menores ou iguais a n (mod 2), e não conforme eu escrevi... Abaixo, corrigido.
As duas últimas tabelas estavam com alguns erros de conta... Abaixo, espero ter consertado todos (setas <==== indicam onde estava errado) Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > >Estou com dificuldades com esses daqui: > >1) Qual o algarismo das unidades do número x = 1^1 + 2^2 + 3^3 +.... + >n^n ? Seja x(n) = 1^1 + 2^2 + 3^3 + ... + n^n. De maneira geral, se p e q são primos distintos, x == a (mod p) e x == b (mod q), temos x = k*p + a x = m*q + b logo q*x = k*p*q + a*q p*x = m*p*q + b*p o que somando dá (p + q)*x == a*q + b*p (mod p*q) Mas p + q é invertível mod p*q, portanto x == (a*q + b*p)/(p + q) (mod p*q). Seja x_2(n) a classe de congruência de x(n) mod 2. Analogamente para x_5(n). (***) Módulo 2, as parcelas não nulas em x_2(n) vêm dos ímpares menores ou iguais a n, portanto x_2(n) == teto(n/2) (mod 2). Para x_5(n), usando o teorema de Euler-Fermat (se u == v (mod 5) e u == w (mod fi(5) = 4) então u^u == v^u == v^w (mod 5)) vem x_5(n) == (1^1 + 2^2 + 3^3 + 4^4) + (1^2 + 2^3 + 3^4 + 4^1) + (1^3 + 2^4 + 3^1 + 4^2) + ... (mod 5) A soma das parcelas em parênteses são claramente cíclicas em mmc(4,5) = 20, portanto se n = 20*m + b, então x_5(n) = m*x_5(20) + x_5(b). Felizmente não é difícil construir uma tabela de valores x_5(b), b = 1, 2, ..., 19; os valores a serem somados são assim: 1^1 2^2 3^3 4^4 0 1^2 2^3 3^4 4^1 0 1^3 2^4 3^1 4^2 0 1^4 2^1 3^2 4^3 0 Ordenadamente em b, da esquerda pra direita e de cima para baixo, estes são os valores de b^b mod (5). Isto pode ser melhorado: 1 -1 2 1 0 1 -2 1 -1 0 <==== 1 1 -2 1 0 1 2 -1 -1 0 Portanto, para obter x_5(b) "basta" ir somando, mod 5, ordenadamente até a b- ésima casa. Em particular, x_5(20) = 4, portanto se n = 20*m + b, b = 1, 2, ..., 19, tem-se x_5(n) = 4*m + x_5(b). Os valores de x_5(b) são (b = 1, 2, ..., 20) 1 0 2 3 3 <==== 4 2 3 2 2 <==== 3 4 2 3 3 4 1 0 4 4 Temos 2 + 5 = 7, e o inverso de 7 mod 10 é 3. Pelas observações iniciais, x == 3*(2*x_5(n) + 5*x_2(n)) == 6*x_5(n) + 15*x_2(n) == 6*x_5(n) + 5*x_2(n) (mod 10). O x_2(n) é facilmente calculável, o x_5(n) dá um pouco mais de trabalho, e admito que a solução é feia. Seria ótimo se alguém obtivesse uma fórmula fechada para x_5(n).. []s, Daniel ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================