Bruno Bruno ([EMAIL PROTECTED]) escreveu: > > Estou com dificuldades com esses daqui: > > 1) Qual o algarismo das unidades do n�mero x = 1^1 + 2^2 + 3^3 +.... + > n^n ? >
Minha solucao eh baseada no fato de que a sequencia n^n (mod 10) tem periodo 20. Mesmo assim, nao encontrei uma formula bonitinha. No que se segue, as igualdades devem ser entendidas como congruencias mod 10. 0^k = 0 ==> final 0 gera a subsequencia 0, 0, 0, 0, 0, ... - periodo 1. 1^k = 1 ==> final 1 gera a subsequencia 1, 1, 1, 1, 1, ... - periodo 1. 2^(20k+2) = 4 e 2^(20k+12) = 6 ==> final 2 gera a subsequencia 4, 6, 4, 6, 4, ... - periodo 2. 3^(20k+3) = 7 e 3^(20k+13) ==> final 3 gera a subsequencia 7, 3, 7, 3, 7, ... - periodo 2. 4^(10k+4) ==> final 4 gera a subsequencia 6, 6, 6, 6, 6, ... - periodo 1. 5^k = 5 ==> final 5 gera a subsequencia 5, 5, 5, 5, 5, ... - periodo 1. 6^k = 6 ==> final 6 gera a subsequencia 6, 6, 6, 6, 6, ... - periodo 1. 7^(20k+7) = 3 e 7^(20k+17) = 7 ==> final 7 gera a subsequencia 3, 7, 3, 7, 3, ... - periodo 2. 8^(20k+8) = 6 e 8^(20k+18) = 4 ==> final 8 gera a subsequencia 6, 4, 6, 4, 6, ... - periodo 2. 9^(2k+1) = 1 ==> final 9 gera a subsequencia 1, 1, 1, 1, 1, ... - periodo 1. *** n: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ultimo algarismo de n^n: 0 1 4 7 6 5 6 3 6 1 0 1 6 3 6 5 6 7 4 1 ultimo algarismo da soma parcial (1^1 + 2^2 + ... + k^k): 0 1 5 2 8 3 9 2 8 9 9 0 6 9 5 0 6 3 7 8 Logo, para n = 20m + r (m >= 0 e 0 <= n <= 19), o ultimo algarismo de 1^1 + 2^2 + ... + n^n serah igual ao ultimo algarismo de A + B, onde: A = 8m (mod 10) e B eh dado por: r: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 B: 0 1 5 2 8 3 9 2 8 9 9 0 6 9 5 0 6 3 7 8 *** Por exemplo, se n = 1234 = 20*61 + 14, teremos: A = 8*61 = 8*1 = 8 e B = 5 ==> A + B = 13 = 3 ==> o ultimo algarismo de 1^1 + 2^2 + ... + 1234^1234 eh 3. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
