On Thu, Mar 03, 2005 at 12:41:00PM -0300, Claudio Buffara wrote: > > Corol�rio do corol�rio: > > Se x � racional, x diferente de 0, ent�o cos(x) � irracional. > > Se x � racional, x diferente de 1, ent�o arccos(x) � irracional. > > > Tem algumas excecoes, tais como r = 0, 1/2, -1/2, 1 e -1. > Nesses casos, arccos(r) e arcsen(r) sao multiplos racionais de Pi, mas acho > que essas sao as unicos excecoes.
Acho que n�o estamos nos entendendo. Se r = 1/2 ent�o arccos(r) � de fato m�ltiplo racional de Pi mas n�o era disso que eu estava falando na segunda parte da mensagem nem foi esta a pergunta original. O que eu disse � que arccos(r) � irracional para r racional, r diferente de 1, o que � correto exatamente como eu enunciei, sem outras exce��es al�m de r=1. Por exemplo, arccos(0) = pi/2 � irracional pois pi � irracional. Se a pergunta for para quais racionais r temos que arccos(r) � um m�ltiplo racional de pi ent�o a resposta � que isto ocorre exatamente para os valores que voc� listou: 0, +-1 e +-1/2. A prova disso � bem simples. Se x � racional ent�o 2cos(pi x) = exp(i pi x) + exp(-i pi x) � um inteiro alg�brico. Assim se cos(pi x) for racional, 2 cos(pi x) deve ser racional e inteiro alg�brico, logo inteiro. Como -2 <= 2 cos(pi x) <= 2 devemos ter cos(x) = 0, +-1 ou +-1/2. []s, N. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
