Eu havia feito o seguinte:
xyz(x+ y + z) = 1 <==> xz(xy + y^2 + yz) = 1 (I)
(x + y)(y + z) = xz + xy + y^2 + yz
De (I) vem que xy + y^2 + yz = 1/xz. Sendo assim, o segundo membro de (II) pode ser escrito como xz + 1/xz, que, pela desigualdade das m�dias, � >= 2. O que me deu dor de cabe�a foi o fato dessa quest�o ter ca�do numa prova respeit�vel e o gabarito indicar 2/3 como resposta. Como voc� chegou ao mesmo que eu por outro caminho, penso que o gabarito est� furado.
Obrigado de novo.
M�rcio.
Claudio Buffara wrote:
Supondo que x, y e z sao reais positivos, teremos: xyz(x + y + z) = 1 ==> y^2 + (x+z)y - 1/(xz) = 0 ==> y^2 + (x+z)y + xz - (1/(xz) + xz) = 0 ==> y^2 + (x+z)y + xz = 1/(xz) + xz ==> (x + y)(y + z) = 1/(xz) + xz >= 2 quaisquer que sejam x e z positivos, com igualdade sss xz = 1 ==> (x + y)(y + z) >= 2.
O minimo de 2 eh atingido, por exemplo, com x = z = 1 e y = raiz(2) - 1.
[]s, Claudio.
========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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