Robÿffffe9rio Alves wrote:
Qual o resultado da expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 e prove que o resultado termina com um número divisível por 5.
------------------------------------------------------------------------ <%20http://us.rd.yahoo.com/mail/br/taglines/*http://mail.yahoo.com.br/>
O pequeno teorema de Fermat nos diz que a^(p-1) ~ 1 (mod p) para todo p primo. Outro resultado interessante é que Z_p, os inteiros módulo p, formam um corpo e, portanto, cada elemento não-nulo de Z_p admite um inverso (único). Se a soma for a_1^99 + ... + a_k^99 (com nenhum a_j = 0) podemos transformá-la em a_1^(100) * a_1^(-1) + ... + a_k^(100) * a_k^(-1).
Como para todo j temos a_j^4 = 1 pelo pequeno teorema de Fermat, a soma corresponde a a_1^(-1) + ... + a_k^(-1).
A expressão 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 + 5^99 em Z_5 é equivalente a 1^99 + 2^99 + 3^99 + 4^99 que é equivalente a 1^(-1) + 2^(-1)+ 3^(-1) + 4^(-1). Como cada elemento tem um inverso único (poderia dizer explicitamente que eles são, em ordem, 1, 3, 2, 4), é claro que tal soma é 1 + 2 + 3 + 4 = 0.
Abraços. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
