Bem, o Shine deixou uma resposta em seu artigo "Geometria com Contas" da Eureka! 17. veja: http://www.obm.org.br/eureka/eureka17.pdf
--- Eric Campos <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > O problema a seguir foi proposto recentemente. Nao > usei geometria analitica, mas tambem nao tive ideia > para usar projetiva... Alguem sabe resolver por > projetiva (razao anarmonica etc)? Gostaria de ver > a solucao por projetiva ou uma dica de como fazer! > > > No quadril�tero convexo ABCD, as diagonais AC e BD > > s�o perpendiculares e os lados opostos AB e DC > n�o > > s�o paralelos. Suponha que o ponto P, onde as > > mediatrizes de AB e DC se encontram, � interior a > > ABCD. Mostre que ABCD � um quadril�tero > inscrit�vel > > se, e somente se os tri�ngulos ABP e CDP t�m �reas > > iguais. > > POSSIVEL SOLUCAO: > > (Faca uma figura) > > (=>) Se ABCD eh insctitivel entao ABP e CDP tem > areas > iguais. > > prova. Seja M o ponto medio de AB e N o ponto medio > de > CD. Suponha ABCD inscritivel. Entao P eh o centro da > circunferencia onde se inscreve ABCD e > > angulo ACB = alfa (angulo inscrito do arco AB) > angulo BPM = alfa (metade do angulo central do arco > AB) > angulo ADB = alfa (angulo inscrito) > > angulo BDC = beta (angulo inscrito do arco BC) > angulo BAC = beta (idem) > angulo BPC = 2beta (angulo central do arco BC) > > angulo DBC = gama (angulo inscrito do arco DC) > angulo CPN = gama (metade do angulo central do arco > DC) > > Seja Q o encontro das diagonais do quadrilatero. > Considere o triangulo BQC, retangulo em Q e cujos > outros angulos sao alfa e gama. Entao: > alfa + gama = Pi/2, donde, no triangulo PNC, > retangulo > em N, tem-se: > > angulo PCN = alfa > > e no triangulo PBM, retangulo em M: > > angulo PBM = gama > > logo os triangulos PNC e BMP sao semelhantes, pois > ambos tem angulos Pi/2, alfa e beta. Alem disso, > PB = PC, isto eh, suas hipotenusas sao iguais, logo, > os triangulos PNC e BMP sao congruentes e portanto: > > PN = BM e CN = PM > > donde > > BM.PM = PN.CN > Area do triangulo BMP = Area da triangulo PNC > como queriamos. > > > (<=) Se ABP e CDP tem areas iguais entao ABCD eh > circuncritivel. > > prova. Suponha que ABP e CDP tem areas iguais. > Entao PM.BM = PN.CN (base por altura) donde > PM/CN = PN/BM, entao os catetos sao proporcionais e > os > triangulos MBP e NPC sao semelhantes, mas suas areas > sao iguais, e portanto estes triangulos sao > congruentes > e suas hipotenusas sao iguais, isto eh, > > PB=PC > > mas como PM eh mediatriz, PB = PA > como PN eh mediatriz PC = PD, logo, > > PA = PB = PC = PD > > e ABCD eh inscritivel... > > > []'s > > Eric > > > > > > > Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis. > Instale o discador agora! > http://br.acesso.yahoo.com/ > ========================================================================= > Instru��es para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > Yahoo! Acesso Gr�tis - Internet r�pida e gr�tis. Instale o discador agora! http://br.acesso.yahoo.com/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
