Suponha que |M| seja divis�vel por p*q, onde p e q s�o primos distintos.
Aplicando o teorema de Cauchy ao grupo abeliano (M,+) deduzimos que existem dois subgrupos de (M,+) (portanto, dois subm�dulos de M) A e B tais que |A| = p e |B| = q.
Como p e q s�o primos entre si, temos que A inter B = {0}, pois se x pertence a A inter B, ent�o o(x) | p e o(x) | q ==> o(x) | mdc(p,q) = 1 ==>
o(x) = 1 ==> x = 0.
Mas nesse caso, A e B n�o s�o compar�veis por inclus�o ==>
contradi��o ==>
|M| n�o pode ser divis�vel por dois primos distintos ==>
|M| = p^n para algum primo p e algum inteiro n�o-negativo n.
Ser� que � isso?
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | "Lista OBM" [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Mon, 28 Mar 2005 16:04:31 -0300 (ART) |
| Assunto: | [obm-l] Z-m�dulo finito. |
> Gostaria de uma ajuda no problema abaixo:
>
> Seja M um Z-m�dulo finito tal que o conjunto dos seus subm�dulos � totalmente ordenado por inclus�o. Prove que existe um n�mero primo p tal que o n�mero de elementos de M � uma pot�ncia de p. (Z � o anel do inteiros!!!)
>
> Obs.: Estava tentando resolv�-lo com o aux�lio do Teorema de Sylow. N�o sei se estava no caminho certo, mas nao "saiu" nada!!!
>
> Grato desde j�, �der.
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