| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Tue, 29 Mar 2005 08:44:28 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] Principio das Gavetas |
> Aproveitando a oportunidade, gostaria de uma sugest�o no problema
> seguinte: "Prove que em qualquer seq��ncia de 39 n�meros naturais
> consecutivos existe ao menos um n�mero cuja soma dos algarismos �
> divis�vel por 11."
>
> []s,
>
> M�rcio.
>
A afirmativa n�o � verdadeira.
Contra-exemplo:
38999981, 38999982, ..., 39000019.
Por outro lado, acho que com 40 naturais consecutivos o resultado � verdadeiro.
Minha id�ia foi considerar o termo da sequ�ncia que termina com o maior n�mero poss�vel de algarismos 9 (digamos k algarismos 9, com k >= 1).
Chamando este termo de N e a soma de seus algarismos de S(N), eu descobri o contra-exemplo no caso em que S(N) == 10 e k == 6 (mod 11).
O seguinte lema (f�cil de provar) foi �til:
Se N � um n�mero natural que termina por k algarismos 9 (k >= 0) e se S(N) � a soma dos algarismos de N, ent�o S(N+1) = S(N) - 9k + 1.
[]s,
Claudio.
