Um abraço, Frederico.
From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: "obm-l" <obm-l@mat.puc-rio.br> Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstração Mais elementar. Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300
Se p = 3, então p divide 111, 111111, 111111111, e qualquer número formado por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo).
Suponhamos, portanto, que p <> 2, 3 e 5.
Nesse caso, 1/p é uma dízima periódica simples (não sei se isso é mais fácil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de Euler)
Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2...,
teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2....a_na_1a_2...
de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja,
p divide 10^n - 1 = 9*11...1
Como p não divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1).
Além disso, os números (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... são todos formados apenas por algarismos 1 e são obviamente divisíveis por p.
[]s, Claudio.
De:[EMAIL PROTECTED]
Para:obm-l@mat.puc-rio.br
Cópia:
Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300
Assunto:[obm-l] DEmonstração Mais elementar.
>
>
> Olá a todos.
>
> è bem conhecido o fato de que se p é primo diferente de 2 e 5 então p
> divide infinitos dos
> números R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstração mais direta usa o Peq.
> Teorema de Fermat, que
> não é um resultado elementar. O fato está relacionado com a periodicidade da
> expansão decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstração alternativa,
> que usasse fatos mais elementares. Alguém conhece alguma?
>
> Agradeço desde já a todas as sugestões.
> Um abraço a todos,
> Frederico.
>
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