A coisa � um pouco mais geral: basta que n seja primo com 10.
Assim, seja n um inteiro positivo primo com 10.
Considere as n divis�es euclidianas:
10 = q_1*n + r_1
100 = q_2*n + r_2
...
10^n = q_n*n + r_n
onde, para cada i (1<=i<=n), vale 1 <= r_i <= n-1.
Nenhum r_i ser� zero pois n � primo com 10 e, portanto, n�o pode dividir nenhum 10^k exatamente.
Mas nesse caso, teremos n restos que s� podem assumir n-1 valores distintos (de 1 a n-1, inclusive).
Logo, pelo PCP, v�o existir inteiros u e v com 1 <= u < v <= n tais que:
r_u = r_v ==>
10^u - q_u*n = 10^v - q_v*n ==>
10^v - 10^u = (q_v - q_u)*n ==>
n divide 10^u*(10^(v-u) - 1) ==>
n divide 10^(v-u) - 1, pois n � primo com 10.
Sejam k = v - u e q = (10^k - 1)/n = 10^k/n - 1/n = inteiro.
Seja 1/n = a_1/10 + a_2/10^2 + ... + a_k/10^k + a_(k+1)/10^(k+1) + ...
Ent�o:
10^k/n = 10^(k-1)*a_1 + 10^(k-2)*a_2 + ... + a_k + a_(k+1)/10 + ...
Subtraindo a primeira equa��o da segunda, obtemos:
q = (10^k - 1)/n =
10^(k-1)*a_1 + ... + a_k + (a_(k+1)-a_1)/10 + (a_(k+2)-a_2)/10^2 + ...
10^(k-1)*a_1 + ... + a_k � inteiro e positivo.
Em particular, k >= 1 e a_1 >= 1.
No entanto, (a_(k+1) - a_1)/10 + (a_(k+2) - a_2)/10^2 + ... s� ser� inteiro se a(k+1) - a_1 = a_(k+1) - a_2 = ... = 0 e isso significa que:
a_(k+1) = a_1,
a_(k+2) = a_2,
...
a_(2k) = a_(k),
a_(2k+1) = a_(k+1) = a_1,
...
Ou seja, 1/n � uma d�zima peri�dica simples cujo per�odo � (a_1a_2...a_k).
[]s,
Claudio.
| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Sun, 03 Apr 2005 11:56:49 -0300 |
| Assunto: | [obm-l] RE: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstra��o Mais elementar. |
> Ol� Cl�udio. est� a� o n� da quest�o. N�o conhe�o demonstra��o de que 1/p
> seja d�zima peri�dica simples que n�o use o Peq. teorema...
>
> Um abra�o,
> Frederico.
>
> >From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]>
> >Reply-To: [email protected]
> >To: "obm-l"
> >Subject: [obm-l] Re:[obm-l] DEmonstra��o Mais elementar.
> >Date: Sat, 2 Apr 2005 16:36:05 -0300
> >
> >Se p = 3, ent�o p divide 111, 111111, 111111111, e qualquer n�mero formado
> >por 3k algarismos 1 (k inteiro positivo).
> >
> >Suponhamos, portanto, que p <> 2, 3 e 5.
> >Nesse caso, 1/p � uma d�zima peri�dica simples (n�o sei se isso � mais
> >f�cil de demonstrar do que o pequeno teorema de Fermat ou o teorema de
> >Euler)
> >
> >Escrevendo 1/p = 0,a_1a_2...a_na_1a_2...a_na_1a_2...,
> >teremos 10^n/p = a_1a_2...a_n,a_1a_2....a_na_1a_2...
> >de forma que (10^n - 1)/p = a_1a_2...a_n, ou seja,
> >p divide 10^n - 1 = 9*11...1
> >Como p n�o divide 9, p divide N = 11...1 (n algarismos 1).
> >Al�m disso, os n�meros (10^n+1)*N, (10^(2n)+10^n+1)*N, ... s�o todos
> >formados apenas por algarismos 1 e s�o obviamente divis�veis por p.
> >
> >[]s,
> >Claudio.
> >
> >
> >
> >De:[EMAIL PROTECTED]
> >
> >Para:[email protected]
> >
> >C�pia:
> >
> >Data:Sat, 02 Apr 2005 13:06:30 -0300
> >
> >Assunto:[obm-l] DEmonstra��o Mais elementar.
> >
> > >
> > >
> > > Ol� a todos.
> > >
> > > � bem conhecido o fato de que se p � primo diferente de 2 e 5 ent�o p
> > > divide infinitos dos
> > > n�meros R_n:=(10^n-)/9. Entretanto, a demonstra��o mais direta usa o
> >Peq.
> > > Teorema de Fermat, que
> > > n�o � um resultado elementar. O fato est� relacionado com a
> >periodicidade da
> > > expans�o decimal de 1/p. Gostaria de obter uma demonstra��o alternativa,
> > > que usasse fatos mais elementares. Algu�m conhece alguma?
> > >
> > > Agrade�o desde j� a todas as sugest�es.
> > > Um abra�o a todos,
> > > Frederico.
> > >
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