Prezado Ralph, muito obrigado pelas suas geniais contribui��es. Um abra��o, Andr�.
----- Original Message ----- From: "Ralph Teixeira" <[EMAIL PROTECTED]> To: <[email protected]> Sent: Sunday, April 03, 2005 12:49 PM Subject: RE: [obm-l] Problemas de probabilidades Oi, Andre. Vamos ver se eu consigo fazer observacoes boas.... >> 1) Uma moeda equilibrada � lan�ada at� que, pela primeira vez, o mesmo resultado apare�a duas >> vezes sucessivas. Descreva o espa�o amostral desse experimento e calcule a probabilidade do >> seguinte evento: o experimento terminar antes do sexto lan�amento. >> Solu��o proposta: >> O espa�o amostral � dado por W = {(k, k), (k, c, c), (k, c, k, k), (k, c, k, c, c), (k, c, k, c, k), >> (c, c), (c, k, k), (c, k, c, c), (c, k, c, k, k), (c, k, c, k, c)}. Perfeito, desde que se entenda que (k,c,k,c,k) significa "kckck....", ou seja, TODAS as series de lancamentos que **comecam** com kckck. Idem para ckckc. >> O n�mero de casos favor�veis (s�o aqueles que aparecem sublinhados) � 8. Portanto,a >> probabilidade pedida � 8/10. A armadilha mais comum em probabilidade (dentro da qual voce vai achar estudantes, professores e muita gente boa, incluindo eu) eh usar a formula do "casos favoraveis" / "casos possiveis"... Esta formula soh funciona se os casos sao IGUALMENTE PROVAVEIS, o que nem sempre eh verdade. Neste caso, por exemplo, os 10 casos do espaco amostral NAO SAO igualmente provaveis. Se a moeda eh justa e os lancamentos sao independentes, entao Pr(kk)=1/4 enquanto Pr(kcc)=1/8, certo? Uma tabela com todas as probabilidades, na ordem que voce escreveu, dah: 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/32. (Eu sempre aproveito para verificar se a soma deu 1; caso contrario, esqueci algo no espaco amostral). Agora, o evento desejado eh o que voce sublinhou. Para encontrar sua probabilidade, SOME as probabilidades dos eventos: 1/4+1/8+1/16+1/32+1/4+1/8+1/16+1/32 = 1-2/32 = 15/16. >> 2) Seis urnas cont�m cada uma 12 bolas entre pretas e brancas. Uma urna cont�m 8 bolas brancas. >> Duas urnas cont�m 6 bolas brancas e tr�s urnas cont�m 4 bolas brancas. Uma urna � selecionada e tr�s >> bolas s�o extra�das. Foram obtidas duas bolas brancas e uma preta. Qual � a probabilidade de que a >> urna selecionada tenha sido a que tinha 6 brancas e seis pretas? >> Solu��o proposta: >> Pede-se a probabilidade de ocorrer a urna II ou a urna III dado que foram obtidas duas bolas brancas >> e uma bola preta, ou seja, � o caso de uma probabilidade condicional. >> -- A � o evento "obter duas bolas brancas e uma bola preta": >> Na urna I (h� probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/10 x 5/9 x 4/8 x 3 = 1/12 O raciocinio estah perfeito, mas voce fez a urna 1 como se fossem 6 bolas brancas e 4 pretas. Sao **8** brancas e 4 pretas, entao Pr(A e Urna I)=1/6 x 8/12 x 7/11 x 4/10 x 3 >> Na urna II (h� probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 >> (o mesmo se d� na urna III) >> Na urna IV (h� probabilidade de 1/6 de ela ser a escolhida): 1/6 x 4/12 x 3/11 x 8/10 x 3 = 2/55 >> (o mesmo se d� nas urnas V e VI). >> Portanto: P(A) = 1/12 + 2 x 3/44 + 3 x 2/55 = 217/660 >> A inter B � o evento "obter duas bolas brancas e uma bola preta extra�das da urna II ou da urna III": >> Na urna II: 1/6 x 6/12 x 5/11 x 6/10 x 3 = 3/44 (o mesmo se d� na urna III) >> Portanto: P(A e B) = 2 x 3/44 = 3/22. >> Assim, 3/22 : 217/660 = 90/217. Eh, Pr(B|A) = Pr(A e B)/Pr(A). O resto estah perfeito ateh onde eu posso ver, soh tem que consertar aquele "1/12" na conta do P(A) e dali pra frente. >> 3- Seis dados s�o lan�ados. Qual � a probabilidade de que todos os seis n�meros aparecer�o? >> A probabilidade de ocorrer seq��ncia (1, 2, 3, 4, 5, 6) � (1/6)6. Como h� 6! formas de organizar a >> referida seq��ncia, a probabilidade pedida � (1/6)6x 6! � 1,5%. Esta eu concordo 100%. :) Abraco, Ralph E-mail classificado pelo Identificador de Spam Inteligente Terra. Para alterar a categoria classificada, visite http://mail.terra.com.br/protected_email/imail/imail.cgi?+_u=andrezinho1964&; _l=1,1112545114.998184.27375.mueru.terra.com.br,21785,Des15,Des15 Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido Terra. Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em 01/04/2005 / Vers�o: 4.4.00 - Dat 4460 Proteja o seu e-mail Terra: http://mail.terra.com.br/ ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
