Ola Rhilbert e demais colegas desta lista ... OBM-L,
Tambem só para constar, segue a solucao que um Matematico deu, quando ainda era crianca :
Seja Sn=1+2+...+N. Podemos imaginar a soma dos quadrados (Sq) colocados assim
1+2+3+4+...+N *+2+3+4+...+N *+*+3+4+...+N *+*+*+4+...+N ... *+*+*+*+...+N
Substituindo ( de cima para baixo ) cada * pelo numero acima, termos um quadradinho cuja soma dos termos e claramente igual a N*Sn. IMAGINE retirada a diagonal principal desse quadrinho ( que faz parte de Sq ). E facil perceber agora que cada coluna da parte de cima (acima da diagonal principal que foi imaginariamente retirada ) e o dobro de cada linha da parte de baixo ( abaixo da diagonal principal ). Isto e : Sq - Sn =2*(N*Sn - Sq) => Sq=[(2*N+1)*Sn]/3
Preenchendo um cubinho e supondo conhecidos Sn e Sq e possivel rapidamente e claramente achar
1^3 + 2^3 + ...+N^3. Como ?
Um Abraco a todos ! Paulo Santa Rita 4,2117,060405
From: "Rhilbert Rivera" <[EMAIL PROTECTED]> Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br To: obm-l@mat.puc-rio.br Subject: RE: [obm-l] 1^2 + 2^2 + ... + n^2 Date: Wed, 06 Apr 2005 19:23:47 +0000
Essa já deve ter por aí na lista, mas só para constar...
Lembremos que (n + 1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1
Para n = 0, 1, 2, ...,n , temos n = 0, (0+1)^3 = 1^3 = 0^3 + 3.0^2 + 3.0 + 1 n = 1, (1+1)^3 = 2^3 = 1^3 + 3.1^2 + 3.1 + 1 n = 2, (2+1)^3 = 3^3 = 2^3 + 3.2^2 + 3.2 + 1 n = 3, (3+1)^3 = 4^3 = 3^3 + 3.3^2 + 3.3 + 1 n = 4, (4+1)^3 = 5^3 = 4^3 + 3.4^2 + 3.4 + 1 ........................................................................ n = n, (n+1)^3 = (n+1)^3 = n^3 + 3.n^2 + 3.n + 1
Somando membro a membro as (n + 1) igualdades acima, fica:
1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + (n+1)^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 + 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).1
arrumando, vem:
(n + 1)^3 = 3(1^2+2^2+3^2+...+n^2) + 3(1+2+3+...+n) + (n+1).
Chamemos de S a soma 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... +n^2 .
Admitindo conhecido que 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = n(n+1)/2 e fazendo as substituições:
(n + 1)^3 = 3.S + 3.n(n+1)/2 + n+1.
Isolando o termo S, etcetera e tal , obtemos a soma procurada
S=n*(n+1)*(2n+1)/6.
( ^_ ^)
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