Oi, Cl�udio '>'-- Mensagem Original -- '>'Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300 '>'Subject: [obm-l] Quadrado M�gico '>'From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> '>'To: "obm-l" <[email protected]> '>'Reply-To: [email protected] '>' '>' '>'Acho que sei como demonstrar que L_i (1<=i<=n), C_j (1<=j<=n-1), T e S s�o '>'funcionais lineares L.I. '>' '>'Suponhamos que existam escalres a_i (1<=i<=n), b_j (1<=j<=n), c e d tais '>'que o funcional linear: '>'F = SOMA(1...n) a_i*L_i + SOMA(1...n-1) b_j*C_j + c*T + d*S '>'seja identicamente nulo. '>' '>'Seja A(i,j) a matriz cujo coeficiente (i,j) � 1 e todos os demais s�o 0. '>' '>'F(A(1,n)) = 0 ==> a_1 + d = 0 '>'F(A(n,n)) = 0 ==> a_n + c = 0 '>'F(A(k,n)) = 0 para 2 <= k <= n-1 ==> a_k = 0. '>' '>'Ou seja, j� podemos escrever: '>'F = -d*L_1 - c*L_n + SOMA(1..n-1) b_j*C_j + c*T + d*S. '>' '>'F(A(1,1)) = 0 ==> -d + b_1 + c = 0 '>'F(A(2,1)) = 0 ==> b_1 = 0 ==> c = d '>'F(A(k+1,k)) = 0 para 2 <= k <= n-2 ==> b_k = 0 '>'F(A(n,n-1)) = 0 ==> -c + b_(n-1) = 0 '>' '>'Assim: '>'F = c*(-L_1 - L_n + C_(n-1) + T + S). '>' '>'Finalmente, F(A(2,2)) = 0 ==> c = 0. '>' '>'Logo, a_i = b_j = c = d = 0 e, portanto, os 2n+1 funcionais acima s�o L.I. '>'e, portanto, o espa�o dos quadrados m�gicos nxn tem dimens�o n^2 - (2n+1) '>'= n^2 - 2n - 1. '>' '>'[]s, '>'Claudio.
A demonstra��o da independ�ncia dos funcionais est� ok, mas isso mostra que se Z � o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais se anulam, ent�o Z (na verdade um subespa�o de M(nxn)) � tal que dim Z = dim M(nxn) - dim(F), onde por F � o subespa�o gerado pelos 2n + 2 funcionais em quest�o no dual de M(nxn), isto �, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n - 1. Este resultado � mais geral: Se Z � o espa�o dos zeros dos funcionais f_1, ..., f_k, que est�o no dual de V, ent�o dim Z = dim V - dim (f_1, ..., f_k). Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n <> 0, assim dim Q >= dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados m�gicos, um subespa�o vetorial). D� para provar que dim Q <= dim Z + 1 (naturalmente um resultado mais geral v�lido para quaisquer funcionais), logo dim Q = dim Z + 1 = n^2 - 2n. []s, Daniel ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
