on 06.04.05 22:14, [EMAIL PROTECTED] at [EMAIL PROTECTED] wrote: > Oi, Cl�udio > > '>'-- Mensagem Original -- > '>'Date: Wed, 6 Apr 2005 17:46:51 -0300 > '>'Subject: [obm-l] Quadrado M�gico > '>'From: "claudio.buffara" <[EMAIL PROTECTED]> > '>'To: "obm-l" <[email protected]> > '>'Reply-To: [email protected] > '>' > '>' > '>'Acho que sei como demonstrar que L_i (1<=i<=n), C_j (1<=j<=n-1), T e > S s�o > '>'funcionais lineares L.I. > '>' > '>'Suponhamos que existam escalres a_i (1<=i<=n), b_j (1<=j<=n), c e d > tais > '>'que o funcional linear: > '>'F = SOMA(1...n) a_i*L_i + SOMA(1...n-1) b_j*C_j + c*T + d*S > '>'seja identicamente nulo. > '>' > '>'Seja A(i,j) a matriz cujo coeficiente (i,j) � 1 e todos os demais s�o > 0. > '>' > '>'F(A(1,n)) = 0 ==> a_1 + d = 0 > '>'F(A(n,n)) = 0 ==> a_n + c = 0 > '>'F(A(k,n)) = 0 para 2 <= k <= n-1 ==> a_k = 0. > '>' > '>'Ou seja, j� podemos escrever: > '>'F = -d*L_1 - c*L_n + SOMA(1..n-1) b_j*C_j + c*T + d*S. > '>' > '>'F(A(1,1)) = 0 ==> -d + b_1 + c = 0 > '>'F(A(2,1)) = 0 ==> b_1 = 0 ==> c = d > '>'F(A(k+1,k)) = 0 para 2 <= k <= n-2 ==> b_k = 0 > '>'F(A(n,n-1)) = 0 ==> -c + b_(n-1) = 0 > '>' > '>'Assim: > '>'F = c*(-L_1 - L_n + C_(n-1) + T + S). > '>' > '>'Finalmente, F(A(2,2)) = 0 ==> c = 0. > '>' > '>'Logo, a_i = b_j = c = d = 0 e, portanto, os 2n+1 funcionais acima s�o > L.I. > '>'e, portanto, o espa�o dos quadrados m�gicos nxn tem dimens�o n^2 - (2n+1) > '>'= n^2 - 2n - 1. > '>' > '>'[]s, > '>'Claudio. > > A demonstra��o da independ�ncia dos funcionais est� ok, mas isso mostra > que se Z � o conjunto das matrizes n x n tais que todos esses funcionais > se anulam, ent�o Z (na verdade um subespa�o de M(nxn)) � tal que dim Z = > dim M(nxn) - dim(F), onde por F � o subespa�o gerado pelos 2n + 2 funcionais > em quest�o no dual de M(nxn), isto �, dim Z = n^2 - (2n + 1) = n^2 - 2n > - 1. Este resultado � mais geral: Se Z � o espa�o dos zeros dos funcionais > f_1, ..., f_k, que est�o no dual de V, ent�o dim Z = dim V - dim (f_1, ..., > f_k). > > Mas claramente a matriz A com todas as coordenadas 1 satisfaz L_1(A) = ... > = L_n(A) = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A) = n <> 0, assim dim Q >= > dim Z + 1 (Q = conjunto das matrizes A que satisfazem L_1(A) = ... = L_n(A) > = C_1(A) = ... = C_n(A) = T(A) = S(A), ou seja, dos quadrados m�gicos, um > subespa�o vetorial). D� para provar que dim Q <= dim Z + 1 (naturalmente > um resultado mais geral v�lido para quaisquer funcionais), logo dim Q = > dim Z + 1 = n^2 - 2n. > > []s, > Daniel > Claro!
Eu esqueci justamente de levar em conta a condicao de quadrado magico... Uma forma mais elementar de ver isso eh observar que o espaco dos quadrados magicos eh justamente o espaco-solucao do seguinte sistema de 2n equacoes lineares homogeneas (e linearmente independentes, como demonstrado acima) em n^2 incognitas: L_1 - T = 0 L_2 - T = 0 ... L_n - T = 0 C_1 - T = 0 C_2 - T = 0 ... C_(n-1) - T = 0 S - T = 0 Logo, o espaco solucao do sistema (igual a Q) tem dimensao n^2 - 2n. []s, Claudio. ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
