Eu acho que esta f � uma "contra��o fraca", ou seja, ||f(x) - f(y)|| <
||x-y||. Acho que n�o existe uma k em [0, 1) tal que valha a
desigualdade das contra��es, justamente porque a f vai ficando cada
vez mais "linear" quando <x,x> fica perto de 1...
(Bom, acabei de ver: use y=0 e x = u(1-eps) onde u � um unit�rio e
eps->0. Isso nos d� uma desigualdade acima com 1-eps < k < 1, para
todo eps... ent�o n�o d� para ser uma contra��o forte - aquela que tem
um k < 1 - mas acho que ainda assim o argumento s� usa contra��o
fraca)
T� mais,
--
Bernardo Freitas Paulo da Costa
On Apr 8, 2005 1:43 AM, Ronaldo Luiz Alonso
<[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> >Meu caro Ronaldo,
> >acho que seu argumento que f � uma contra��o na bola
> >B(0,1) n�o est� correta, pois n�o por enquanto n�o
> >temos uma constante 0 <= k < 1 tal que ||f(x) - f(y)||
> ><= k.||x - y||. Apesar de mesmo aceitando esse
> >hip�tese, tamb�m n�o fiquei convensido que ela
> >injetiva e n�o adimite inversa diferenci�vel!!
> >Sem mais.
>
> Acho que voc� como matem�tico est� certo em
> julgamento. De fato, matem�ticos querem
> sempre coisas precisas. A intui��o ajuda muito
> mas n�o convence :)
>
> Deixa-me tentar novamente:
> Acredito que a constante k pode ser obtida pela
> desigualdade triangular.
> ||f(x) + (- f(y))|| <= ||f(x)|| + ||-f(y)|| = ||<x,x>x|| +
> ||<y,y>y|| = ||x||^2.||x|| + ||y||^2.||y|| = ||x||^3 + ||y||^3
>
> como ||x||<1 e ||y|| < 1, ent�o ||x||^3+||y||^3 < ||x||+||y||
> <||x|| - ||y|| (pois a norma � sempre positiva).
> ent�o qualquer 0 <= k < 1 satisfaz a desigualdade.
>
> Est� certo?
>
> Falta tempo para eu examinar melhor as
> id�ias (e talvez tamb�m compet�ncia minha,
> para firm�-las).
> []s e sauda��es.
>
>
> --- Ronaldo Luiz Alonso
> <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
> > ---------------------
> > 2) Seja f: R^n --> R^n dada por f(x) = <x,x>.x.
> > Mostre que f � de classe C infinito e que leva a
> > bola unit�ria B(0;1) sobre si mesma injetivamente.
> > Mostre que, entretanto, a aplica��o inversa n�o �
> > diferenci�vel na origem.
> >
> > Neste caso se x \in B(0;1) ent�o <x,x> = ||x|| e
> > 0<||x|| < 1. Logo a aplica��o � uma contra��o de
> > x.
> > A contra��o � diferenci�vel e de classe
> > C^{\infty}.
> > � mais ou menos intuitivo que neste caso a aplia��o
> > seja
> > injetiva. Por exemplo: Vetores pr�ximos da
> > fronteira
> > tem norma 1 e portanto ser�o "pouco contra�dos".
> > Assim a demonstra��o de injetividade usa esse
> > fato,
> > isto �, se tomarmos um ponto x pr�ximo pr�ximo da
> > fronteira, podemos sempre escolher um f^{-1}(x) tal
> > que f composto com f^{-1}(x) = x e vice versa.
> > Como ||x|| � sempre menor que 1
> > esses pontos tem que ser diferentes.
> > Para entender por que a aplica��o n�o �
> > diferenci�vel
> > na origem basta notar que "quanto mais perto o vetor
> > estiver da origem mais contra�do ser�" na aplica��o
> > direta.
> > (reciprocamente na aplica��o inversa mais
> > expandido
> > ser�). A origem � uma esp�cie de "buraco
> > negro ao contr�rio" logo n�o pode ter derivada
> > l�. Argumentos do teorema de fun��o impl�cita podem
> > ajudar.
> > Novamente sem rigor... apenas com id�ias.
> >
> > []s Ronaldo L. Alonso
> >
>
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