| De: | [EMAIL PROTECTED] |
| Para: | [email protected] |
| C�pia: |
| Data: | Mon, 16 May 2005 18:07:11 -0300 (ART) |
| Assunto: | Re: [obm-l] Probleminha dos trancedentes. |
> > >Em geral essas provas de transcendencia sao
> > dificeis e usam bastante
> > >analise,
>
> Ou entao vc usa um resultado forte (nao precisa
> conhecer a demonstracao) e bem conhecido
>
> > Cl�udio, uma vez eu tentei resolver a
> > equa��o x^x = 5
> >
>
> Numa mensagem de 30 de junho de 2000, Paulo
> Santa Rita escreveu:
>
> "Teorema de Gelfond : "A^B" e trancedente se
>
> 1) A e algebrico, diferente de zero e um
> 2) B e irracional"
>
> suponha que x^x = 5. Digamos que ja sabemos que x
> eh irracional. Se x fosse algebrico, por Gelfond
> 5 seria trancendente, o que eh absurdo. Logo, se x
> eh irracional, tem que ser transcendente.
>
> ...Falei muita bobagem?
>
N�o. E � f�cil provar que x � irracional.
Suponha que x seja racional. Ent�o x = m/n com m, n inteiros positivos e primos entre si. Tamb�m � claro que m > n (sen�o (m/n)^(m/n) seria menor do que 1).
(m/n)^(m/n) = 5 ==>
m^m = 5^n*n^m ==>
5 | m ==>
m = 5k ==>
5^m*k^m = 5^n*n^m ==>
5^(m-n)*k^m = n^m ==>
5 | n ==>
contradi��o, pois estamos supondo que m e n s�o primos entre si.
Repare que n�o h� nada de especial com o 5. Se p for qualquer n�mero primo, ent�o x^x = p ==> x � transcendente.
[]s,
Claudio.
