Humm, creio que j� achei. Parece que isso n�o apenas existe como � mat�ria comum de an�lise num�rica. Pelo que vi se chama m�todo do ponto fixo...
--- Demetrio Freitas <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > Algu�m da lista gosta de c�lculo num�rico? Este > problema do Cl�udio e uma mensagem anterior do > Filipe > Junqueira, que se relacionava a equa��o cos(x) = x, > parecem sugerir um algoritmo para solu��o num�rica > de > alguns tipos muito particulares de equa��es. > > Recapitulando, o caso s�o sequ�ncias na forma: > x[1] = k e x[n+1] = f(x[n]) > > Em geral, sse a sequ�ncia convergir, isto vai > ocorrer > com x[n] tendendo a um valor tal que f(x[n]) = x[n]. > > Claro que o problema todo � determinar em que > condi��es a sequ�ncia vai convergir, o que em geral > � > complicado. > > Um racioc�nio (bastante) simplificado me parece o > seguinte: > > Seja uma equa��o do tipo f(x) - x = 0 com uma raiz > Xr. > > Seja uma sequ�ncia tal que x[1] = k; x[n+1] = > f(x[n]) > O valor inicial da sequ�ncia(estimativa inicial para > Xr) � arbitr�rio, de forma que k = Xr + A, onde A � > o > erro na estimativa inicial. > > Assim: > x[2] = f(k) = f(Xr+A) = Xr + B; > x[3] = f(Xr+B) = Xr + C; > ... > > B � o erro no segundo passo, C no terceiro, etc... > > Para simplificar o racioc�nio, vamos impor a pesada > condi��o de que em todo o intervalo [Xr-A, Xr+A], > |df(x)/dx| < 1, isto �, o m�dulo da derivada de f(x) > � > menor que 1 no intervalo entre a raiz procurada e o > erro na estimativa inicial. > Acho que esta condi��o garante a converg�ncia, pois > neste caso sempre teremos A>B>C.... > > > � verdade que as restri��es s�o t�o fortes que > provavelmente isso n�o conduz a nada �til. > Mesmo assim eu peguei um compilador C e botei umas > equa��es em loop para gerar sequ�ncias nesta forma. > Funcionou em alguns casos. > > claro, s� para equa��es convenientemente escolhidas, > > em intervalos onde |df(x)/dx| < 1. Por exemplo: > > cos(sin(sin(cos((x^2)/10)))) -x^3 +.4*x^2 +.1*x = x; > k = x[1] = 1/2; x[100] = 0.67622814889611 > > > sin(sin(cos(log((x^2)/10)))) +.5*x^3 -.1*cos(x^2) = > x; > k = x[1] = 1/2; x[100] = -1.25555334286300 > > > De fato parece algo t�o restrito que dificilmente > seria �til, talvez como curiosidade. Algu�m que > conhe�a c�lculo num�rico sabe se alguma varia��o > deste > tipo de algoritmo � usada em sol. num�ricas? > > > []�s > > Dem�trio > > > --- Demetrio Freitas > <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > > > > > Deixa eu ver se n�o me atrapalho... > > > > Se a(n) converge, significa que, para um n > > suficientemente grande, a(n+1) = a(n) = k. > > Isto �: x^a(n)=a(n) => x^k=k > > > > Assim: > > x^k = k > > k*ln(x) = ln(k) => ln(x) = ln(k)/k > > > > Sabemos que para um x muito grande a sequ�ncia > > diverge, ent�o a pergunta �: qual � o maior x > > poss�vel? > > Pelo racioc�nio anterior sabemos que x deve > obedecer > > a > > rela��o ln(x) = ln(k)/k, onde k � o valor para > onde > > a > > sequencia converge. Podemos usar esta express�o > para > > procurar o valor m�ximo de x porque a fun��o ln(x) > � > > mon�tona e crescente para qq x positivo. Em outras > > palavras: o valor m�ximo de ln(x) corresponde > tamb�m > > ao valor m�ximo de x. > > > > Assim: > > y = ln(x) = ln(k)/k . Buscamos o m�ximo de y(k) = > > ln(k)/k : > > > > dy/dk = 1/x^2 - ln(x)/x^2 = 0 => 1/x^2 - > ln(x)/x^2 > > => > > ln(k) = 1 => k = e > > > > Para determinar x, temos: > > y_max=ln(x_max)=ln(e)/e = 1/e > > ln(x_max) = 1/e => x_max = e^(1/e) > > > > Ou seja: x_max = e^(1/e) e a sequencia converge, > > neste > > caso, para k=e. > > > > Ser� que � isso? > > > > []�s > > > > Dem�trio > > > > --- "claudio.buffara" > <[EMAIL PROTECTED]> > > escreveu: > > > Esse tamb�m � um belo problema: > > > > > > Prove que se a(1) = x > 0 e a(n+1) = x^a(n), > para > > n > > > >= 1, ent�o a sequ�ncia ((a(n)) converge se e > > > somente se x <= e^(1/e). > > > > > > []s, > > > Claudio. > > > > > > De:[EMAIL PROTECTED] > > > > > > Para:[email protected] > > > > > > C�pia: > > > > > > Data:Wed, 18 May 2005 00:53:25 +0000 > > > > > > Assunto:Re:[obm-l] Transcendentes - forma > > > definitiva. > > > > > > > Oi Claudio e demais colegas > > > > desta lista ... OBM-L, > > > > > > > > Resposta correta. > > > > > > > > Em linhas gerais, a historia do problema e a > > > seguinte : alguem resolveu um > > > > problema mostrando que haviam duas respostas > > > possiveis, uma das quais > > > > deveria ser falsa. Uma estudante reclamou > > querendo > > > saber a opcao correta. Eu > > > > invoquei o teorema do Gelfond e identifiquei a > > > resposta correta : > > > > > > > > Gelfond => raiz(2)^raiz(2) e transcendente => > e > > > irracional > > > > > > > > E entao resolvi construir explicitamente uma > > > sequencia de numeros > > > > transcendentes que tinha como limite um numero > > > natural. Aqui entrou o GUGU, > > > > reclamando que mesmo nao sabendo provar a > > > transcendencia, nao haviam > > > > hipoteses suficientes para postular tal > > > transcendencia. A reclamacao dele, > > > > correta e justificavel, era implicitamente a > > > proposicao de um problema : > > > > este problema abaixo, onde voce ensaia uma > > solucao > > > ... > > > > > > > > Voce faz a observacao basica e fundamental : > > > fixando a "base", o restante ( > > > > o expoente ) tende para o mesmo limite. Dai, > na > > > sua linguagem, r=t^r. Daqui > > > > sai tranquilo o resto. Note que se voce faz > uma > === message truncated === ____________________________________________________Yahoo! Mail, cada vez melhor: agora com 1GB de espa�o gr�tis! http://mail.yahoo.com.br ========================================================================= Instru��es para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
