Bom, o que o Artur esta falando é que você NAO PODE definir uma funçao medida para todos os subconjuntos de R (portanto pode esquecer R^n), pois existe um jeito (utilizando o Axioma da Escolha) de construir um conjunto que nao pode ter medida zero nem positiva. A idéia principal é fazer uma decomposiç~ao enumerável de [0, 1] em conjuntos que tem que ter a mesma medida. Para criar esta decomposiç~ao, você utiliza o Axioma da Escolha e em seguida você tira um absurdo disto.
Mas acho que, realmente, o seu resultado prova uma coisa bem legal, e lembra-me de sigma-álgebras completas (ou seja, aquelas para as quais X tem medida nula => todo Y contido em X está na sigma-álgebra e também - por estar contido em X, nao poderia ser diferente - tem medida nula). Assim, como o Artur ou você provaram, A x R^m tem medida nula. Ora, para todo B contido em R^m, temos A x B contido em A x R^m, e (do fato que existe uma sigma-álgebra completa que contém os abertos de R^k para todo k) A x B é mensurável e tem medida zero. Esta demonstraçao está contida na que você deu (bastando notar que B está contido em alguma uniao enumerável dos Q_i). Abraços, -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 7/6/05, Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > Oi Artur, > Consegui fazer algo parecido, embora mais elementar, > pois nao conheco muita coisa deste assunto: para cada > ponto do Rn com coordenadas racionais tomei um cubo > unitario com centro neste ponto. Fixemo s um destes > cubos, digamos Q_i. Como A tem medida nula, nao eh > dificil concluir q AxQ_i tb possui medida nula. De > resto, basta ver q AxRn eh a uniao enumeravel dos > AxQ_i. Segue q AxRn possui medida nula. > PS.: nao entendi porque o resultado nao eh valido para > qq subconjunto de Rn. > > Tertuliano > > --- Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> > escreveu: > > > Na realidade, esta demonstracao poderia ser um > > pouquinho mais simples do que > > a que eu dei. Nao era preciso aquela passagem de > > paralelepipedos abertos e > > limitados para conjuntos genericos limitados, > > poderiamos ter invocado > > diretamente a sigma-subaditividade da medida. Antes > > de apresentar a prova, > > uma observacao de um fato sutil que me passou > > desapercebido. O enunciado > > deveria dizer que B eh um conjunto qualquer > > MENSURAVEL de R^n, pois nem todo > > subconjunto R^n eh mensuravel (mesmo com a medida de > > Lebesgue). No caso, B > > teria que pertencer aa sigma-algebra de Borel, > > gerada pelos conjuntos > > abertos de R^n > > > > A prova poderia ser assim: > > > > Suponhamos inicialmente que B=P, sendo P um > > paralelepipedo limitado e aberto > > de R^n de hipervolume > > V (V eh a medida de P). Como A tem medida nula, para > > todo eps>0 podemos > > cobri-lo com uma colecao enumeravel {P_k}de > > paralelepipedos abertos e limitados de R^m, cada um > > com hipervolume V_k, tal > > que Soma(k>1)V_k < eps/V. Temos > > entao que {P_k X P} eh uma cobertura enumeravel de A > > X P por paralelepipedos > > abertos de R^(m+n). O > > hipervolume total desta colecao eh Soma(k>=1)V_k * V > > = V * Soma(k>=1)V_k < > > V * eps/V = eps. Como eps eh > > arbitrario, concluimos que A X P tem medida nula em > > R^(m+n). > > > > O conjunto R^n pode ser dado pela uniao de uma > > colecao enumeravel (nao > > precisa ser disjunta 2 a 2) {Q_k} de paralelepipedos > > abertos de hipervolume > > 1. Entao, {A X Q^_k} eh uma cobertura enumeravel > > (nao necessariamente > > disjunta 2 a 2) de A X R^n. Como A tem medida nula e > > cada Q_k eh um > > paralelepipedo aberto e limitado, a conclusao > > anterior nos mostra que cada A > > X Q_k tem medida nula. Invocando-se agora a > > sigma-sub-aditividade da medida, > > concluimos que A X R^n tem medida nula. E valendo > > esta conclusao para o caso > > B = R^n, segue-se que vale automaticamente para > > qualquer subconjunto > > MENSURAVEL B de R^n, pois A X B estah contido em A X > > R^n e subconjuntos > > mensuraveis de conjuntos nulos sao nulos. > > > > A sigma-sub-aditividade da medida eh a propriedade > > segundo a qual se {A_n} > > eh qualquer colecao enumeravel de conjuntos > > mensuraveis e A eh a uniao desta > > colecao, entao u(A) <= Soma(n>=1) u(A_n), > > entendendo-se esta desigualdade no > > sistema dos reais expandidos. Se a colecao for > > disjunta 2 a 2, ocorre > > igualdade. > > > > Artur > > > > > > > > --- Tertuliano <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > Oi para todos! > > > Alguem pode me ajudar neste? > > > > > > Seja A em Rn um conjunto de medida nula e B em Rm > > um > > > conjunto qualquer. Entao AxB tem medida nula. > > > > > > Grato, > > > Tertuliano > > > > > > __________________________________________________ > > > Converse com seus amigos em tempo real com o > > Yahoo! > > > Messenger > > > http://br.download.yahoo.com/messenger/ > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > > usar a lista em > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > __________________________________________________ > > Do You Yahoo!? > > Tired of spam? Yahoo! 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