Só como "palpite": tome x_n = 1/n, a série harmônica, que diverge. Mas agora suponha que a sua enumeraçao dos racionais é "burra" no seguinte sentido: ela inclui os números numa ordem bastante particular: Seja J o intervalo (-1,1); ela inclui um número de J, outro fora de J, três de J, um fora de J, cinco de J, um fora de J, ..., 2n+1 de J, um fora de J, 2n+3 de J, um fora de J, .... Bom, os termos dentro de I nao me interessam, mas os que estao fora formam uma subseqüência y_n cujos índices sao (n^2 + n), e portanto Soma(y_n) converge. Pelo seu problema (que eu deixo pra outra pessoa resolver :) ), temos em (R \ I) que Uniao (intervalos com centro fora de J) é um subconjunto próprio de (R \ I).
Mas ainda espero uma caracterizaçao melhor... -- Bernardo Freitas Paulo da Costa On 10/17/05, Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > O problema a seguir talvez fosse mais desafiador se nao tivesse ainda havido > esta discussao sobre conjuntos com interior vazio e medida positiva. Apos > esta discussao, a solucao eh bem obvia: > > Sejam (r_n) uma enumeracao dos racionais, (x_n) uma sequencia de termos > reais positivos, I_n = (r_n - x_n, r_n + x_n) e I = Uniao (I_n). Entao, I > eh um aberto denso em R. Mostre que, se Soma (x_n) convegir, entao I eh um > subconjunto proprio de R. > > Minha duvida: e se Soma (x_n) divergir? Ainda assim eh possivel termos I > como subconjunto proprio de R? Neste caso, I = R eh sem duvida possivel. > Isto > certamente ocorrerah se tivermos, por exemplo, x_n = r >0 para todo n, sendo > r constante. Estou analisando esta sitauacao, em que Sona (x_n) diverge. > > Artur > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
