Olá Arthur:
Se V for o espaco vetorial topologico composto pelas
sequencias de reais, hah uma prova simples: seja e_n a
sequencia de reais na qual o n-gesimo termo eh 1 eos
demais sao todos nulos. Entao, {e_n} eh uma sequencia
(sequencia de sequencias)na bola unitaria fechada de
V. Se m<>n, entao e_m - e_n eh a sequencia com 1 na
posicao m, -1 na posicao n e zero em todas as demais,
de modo que ||e_m - e_n|| = 1. Assim, nenhuma
subsequencia de e_n eh Cauchy e, portanto, nenhuma
subsequencia eh convergente.
Acredito que esse tipo de espaço, proporciona um exemplo bastante não
natural.
Como seria geométricamente um tal conjunto?
Enquanto estava lendo a
demonstração
acima, imaginei o seguinte: Cada uma dos elementos da seqüência (de
sequencias) poderia ser
identificado com um ponto em R^{infinito} (pois temos infinitas
coordenadas).
Como todos os e_i possuem pelo menos uma coordenada não nula na bola
unitária em R^{infinito}
e essa coordenada é 1 à medida que percorremos o índice i vamos adicionando
um ponto à
superfície desta bola (que diga-se de passagem não se parece com uma bola e
sim com um hipercubo
de dimensão infinita).
O que acontece (intuitivamente falando) é que apesar do conjunto ser
fechado e limitado, a forma como a norma é definida e
o fato da dimensão do espaço ser definida, conseguem juntos dispersar os
elementos de uma sequência de Cauchy
(não conseguimos ||x_m - x_n|| < eps para m,n > N).
=========================================================================
Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
=========================================================================
