On Fri, May 26, 2006 at 08:09:36PM +0000, Luís Lopes wrote: > Sauda,c~oes, > > Guardei esta msg pois estava esperando um momento > oportuno para voltar a ela. A msg do N. sobre cos7 foi > este momento. ... (cortando um monte de coisa aqui) ... > 4*x^3 - 3*x - c21 = 0; > > O maple confirma que as três raízes são > cos(127 graus) = -0.6018150231520482799179770004414898414256, > cos(247 graus) = -0.3907311284892737550620845888890942676180, > cos( 7 graus) = 0.9925461516413220349800615893305841090437. > > Como se demonstra nos cursos de teoria de Galois, não é possível > chegar numa fórmula com radicais reais para as raízes deste polinômio. > === > Observe que as três raízes são reais e diferentes (solução > trigonométrica e > aproximada). > Então este polinômio NÃO pode ser fatorado (nos Reais) em > produtos de primeiro e segundo grau, não é verdade???
Claro que pode! A fatoração dele é 4(x - c7)(x - c127)(x - c247) onde c7 = cos(7 graus), c127 = cos(127 graus), c247 = cos(247 graus). Não sei se entendi muito bem o que você quer dizer com "solução trigonométrica e aproximada". As raízes são *exatamente* c7, c127 e c247. É claro que as expansões decimais acima são apenas aproximações. > Mas pode ser fatorado nos complexos, não? (Com radicais complexos). A expressão "radicais reais" na minha mensagem talvez tenha sido a fonte da sua confusão. Existe uma fórmula para encontrar as raízes de um polinômio de grau 3: pq não usar este método acima? A razão é que a resposta seria insatisfatória por ser um pouco tautológica: encontraríamos c7 = (z21^(1/3) + z339^(1/3))/2 onde z21 = cos(21 graus) + i sen(21 graus) e z339 = cos(21 graus) - i sen(21 graus). A maneira óbvia de calcular z21^(1/3) é usar a forma polar e chegaríamos à conclusão nem um pouco surpreendente que c7 = cos(7 graus). A pergunta que fica no ar é se não podemos fazer esta álgebra final (a de resolver a equação de grau 3) de alguma outra forma para termos uma formula para c7 onde permitiríamos expressões da forma a^(1/3) (ou até a^(1/n)) para a *real*. A resposta é não. > No caso de polinômios em Z[x] e do 3o. grau conheço livros e os casos > onde isto acontece (discussão do discriminante e das raízes). Não > estou lembrado se há a mesma discussão para Z[x] e pol. de grau 4. > > Gostaria de comentários sobre os pol. de grau 3 e 4 em Z[x] que > são redutíveis e irredutíveis nos R/C. p = z^4 + 2 é irredutível em Z como pode ser verificado pelo critério de Eisenstein. Ou, de forma mais elementar, podemos observar que as raízes são aw, aw^(-1), aw^3, aw^(-3) onde a = 2^(1/4) e w = exp(pi i/4) = (1+i)/sqrt(2). A única forma de fatorar p em R é ((z - aw)(z - aw^(-1)) ((z - aw^3)(z - aw^(-3)) = (z^2 - a^3 z + 1)(z^2 + a^3 z + 1). Como a^3 não é inteiro, p é irredutível em Z. []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================