De fato eu tambem vi este problema mais geral numa edicao do livro do Rudin. Eh uma edicao de um livro compado em 2002.
Considerando a reta real, o problema que o Mouse postou leva a uma conclusao interesante. Existe um intervalo, logo um intervalo compacto I, no qual |f[n](x)| < M para todo n e todo x. As funcoes f[n] sao continuas e, portanto, Lebesgue e Riemann integraveis em I. As integrais de Riemann e de Lebesgue, portanto, coincidem. A seq. f[n] eh dominada em I por M, logo pela funcao constante g(x) = M, que eh integravel em I. Pelo teorema da convergencia dominada de Lebesgue, a funcao limite f eh Lebesgue integravel em I e a seq. das integrais de Lebesgue (que se igualam aas de Riemann ) das funcoes f[n] em I converge para a integral de Lebesgue de f. f tambem eh dominada por M, logo limitada em I. Mas serah que eh Riemann integravel em I? Se o conjunto das descontinuidades de f em I tiver medida de Lebesgue nula, a resposta eh sim, mas nao sei se isso eh verdade. O conjunto destas descontinuidades eh magro na classificacao de Baire, mas isto nao implica que tenha mnedida nula. Artur --- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > É engraçado que esse exercicio que o Artur citou > estava na segunda > edicao do Real and Complex analysis. Na terceira o > Rudin simplificou e > só deixou a que o Mouse postou. > > On 6/29/06, Artur Costa Steiner > <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > O conjunto F(K) eh fechado porque F(K) = Inter > (n=1, > > oo) {x | |f[n](x| <= K}. A continuidade de f[n] > > implica que cada um dos conjuntos desta colecao > seja > > fechado, o que, por sua vez implica, que F(k) seja > > fechado. > > Um ponto interessante eh que este teorema nao se > > limita ao conjunto dos reais. A mesma prova mostra > > que, se X eh um espaco de Baire, Y eh um espaco > > metrico normado e f[n] eh uma sequencia de funcoes > > continuas de X em Y que convirja em todo o X, > entao > > existem um aberto V em X e M>0 tais que > ||f[n](x|| < > > M para todo natural n e todo x em V. > > > > Artur > > > > --- niski lista <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > > Assim, > > > Considere F[K] = {x | |f[n](x)| <= K, pra qq n > >0}. > > > F[K] é fechado. Deixo pra voce verificar isso. > > > Ora, mas R = U F[K], uniao tomada de K = 1, ateh > > > infinito, nos naturais. > > > O teorema de baire garante que para algum desses > > > F[K] tem possui um > > > subconjunto aberto de interior nao vazio. Seja > F[M] > > > este conjunto. > > > Extraia do seu subconjunto aberto de interior > nao > > > vazio um intervalo > > > I. Ora, I esta contido em F[M] e por definicao > para > > > todo x em I, vale > > > que |f[n](x) <= M|. Como queriamos. > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > On 6/28/06, Mouse <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > > > Olá pessoal! Esta é a minha primeira mensagem > na > > > Lista. Sou engenheiro > > > > de formação mas há algum tempo venho estudando > > > análise matematica por > > > > hobby. > > > > Este problema que estou enviando para a lista > é do > > > livro de Walter > > > > Rudin, Real and Complex analysis. É o 13 do > > > capitulo 5, acredito que > > > > ninguem nesta lista tenha problemas com ingles > > > entao vou deixar o > > > > enunciado na forma original. > > > > > > > > "Let {f[n]} be a sequence of continuous real > > > functions on the line which > > > > converges at every point. Prove that there is > an > > > interval I and a number > > > > M < oo such that |f[n](x)| < M for every x \in > I > > > and n = 1,2,3,... " > > > > > > > > > > > > Estou empacado nele há algumas semanas! Alguem > > > conhece a solucao ou pode > > > > enviar para discutirmos? > > > > > > > > Um abraço a todos! > > > > > > > > Mouse > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista > e > > > usar a lista em > > > > > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > > > > > ========================================================================= > > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > > > usar a lista em > > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > > > > ========================================================================= > > > > > > > > > __________________________________________________ > > Do You Yahoo!? > > Tired of spam? Yahoo! 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