Acho que tambem tinha esse aqui: Seja (a_n) uma sequencia de termos positivos tal que SOMA(n>=1) a_n diverge. Prove que se s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n, entao SOMA(n>=1) a_n/s_n ainda diverge.
Por exemplo, se a_n = 1/n, entao s_n <= K + log(n), para alguma constante K > 0. Logo, SOMA(n>=1) a_n/s_n >= SOMA(n>=1) 1/(n(K + log(n)) e esta ultima serie diverge, pelo teste da integral. []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Wed, 30 Aug 2006 01:47:23 -0300 Assunto: Re: [obm-l] Convergencia de serie > Olá, > > nao cheguei a olhar sua demonstracao, vou apenas propor a minha: > > se lim a_n != 0, entao: lim a_n / (1 + a_n) = lim 1 / (1 + 1/a_n) != 0 > logo, a serie de a_n/(1+a_n) nao pode convergir.... > > se lim a_n = 0, entao, vms usar o teste da comparacao: > > lim a_n / [ a_n / (1 + a_n) ] = lim 1 + a_n = 1 > > assim, a_n e a_n / (1 + a_n) sao assintoticamente iguais... isto é, > suas series converge ou divergem juntas... como Sum(a_n) diverge, > entao Sum(a_n / (1 + a_n)) diverge. > > abracos, > Salhab > > > ----- Original Message ----- > From: Bruno França dos Reis > To: OBM > Sent: Tuesday, August 29, 2006 11:17 PM > Subject: [obm-l] Convergencia de serie > > > Oi, gente. > > Vejam o seguinte probleminha: > > Seja a_n uma seqüência de termos positivos tais que sum (n=1..oo) a_n > diverge. Prove que sum (n=1..oo) a_n / (1 + a_n) diverge. > > > Eu pensei em demonstrar a contrapositiva, isto é: > Seja a_n uma seqüência de termos positivos. Prove que se sum(n=1..oo) a_n / > (1 + a_n) converge então sum (n=1..oo) a_n converge. > (todos os limites serão tomados para n --> oo) > Da hipótese, lim a_n / (1 + a_n) = 0, o que implica que para todo eps > 0, > existe n0 tal que n > n0 ==> a_n / (1 + a_n) < eps > <==> a_n < eps + a_n * eps <==> a_n(1 - eps) < eps <==> a_n < eps / (1 - > eps). Podemos fazer eps / (1 - eps) tão pequeno quanto queiramos, bastando para isso tomar um eps suficientemente pequeno. Então concluimos que lim a_n = 0. > Agora vamos aplicar o critério da comparação no limite para a série sum > a_n, comparando com sum a_n / (1 + a_n). Temos: > lim a_n / ( a_n / (1 + a_n) ) = lim a_n * (1 + a_n) / a_n = lim 1 + a_n = 1 > (já que lim a_n = 0). Como o limite calculado é igual a 1, segue que o comportamento da série sum a_n é o mesmo da série a_n / (1 + a_n). Assim, sum a_n converge. > Provamos então que sum a_n / (1 + a_n) convergente ==> sum a_n convergente. > Tomando a contrapositiva, sum a_n divergente ==> sum a_n / (1 + a_n) > divergente. > > Tá certo isso?? > Se sim, tem algum jeito mais simples? > > Abraço > Bruno > > > -- > Bruno França dos Reis > email: bfreis - gmail.com > gpg-key: http://planeta.terra.com.br/informatica/brunoreis/brunoreis.key > icq: 12626000 > > e^(pi*i)+1=0 > > > ------------------------------------------------------------------------------ > > > No virus found in this incoming message. > Checked by AVG Free Edition. > Version: 7.1.405 / Virus Database: 268.11.6/430 - Release Date: 28/8/2006 > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================