Creio que este inteiro deve dividir todos os p^4 - 1 simultaneamente, tal
que
p é um primo maior 5. A resposta de que este maior divisor seja o
próprio p^4 - 1 faz todo o sentido, porém ele seria um valor variável
dependente de p, e não um valor constante.
A solução que encontrei foi a seguinte:
Fatorando p^4 - 1, obtemos
p^4 - 1 = (p^2 + 1).(p^2 - 1) = (p^2 + 1).(p + 1).(p - 1)
Se p é primo maior que 5, então necessariamente p é ímpar e (p^2 + 1) é um
múltiplo de 2, (p + 1) é um múltiplo de 2, e (p - 1) é um múltiplo de 2.
Logo, (p^4 - 1) é múltiplo de 23.
Ainda, dados três números consecutivos (p - 1), p, (p + 1), então
necessariamente um deles é múltiplo de 3. Então (p + 1) ou (p - 1) é
múltiplo de 3, pois p é primo. Logo, p^4 - 1 é múltiplo de 3.
E finalmente, todo inteiro é da forma 5.k, 5.k + 1, 5.k + 2, 5.k + 3, 5.k +
4. com k inteiro.
Como p é um primo maior que 5, p não pode ser da forma 5.k, porém vamos
provar que para as outras formas, p^4 - 1 sempre é um múltiplo de 5. Vejamos
os outros casos:
Se p for da forma 5.k + 1, então (p - 1) = (5.k + 1 - 1) = 5.k, torna p^4 -
1
um múltiplo de 5.
Se p for da forma 5.k + 2, então (p2 + 1) = (25.k2 + 20.k + 4 + 1) = 5.(5.k2
+ 4.k + 1) = 5.k', torna p^4 - 1 um múltiplo de 5.
Se p for da forma 5.k + 3, então (p2 + 1) = (25.k2 + 30.k + 9 + 1) = 5.(5.k2
+ 6.k + 2) = 5.k', torna p^4 - 1 um múltiplo de 5.
Se p for da forma 5.k + 4, então (p + 1) = (5.k + 4 + 1) = 5.k + 5 = 5.(k +
1) = 5.k', também torna p^4 - 1 um múltiplo de 5.
Logo, p^4 - 1 sempre será um múltiplo de 5.
Assim, como p^4 - 1 é múltiplo de 23, 3, 5 simultaneamente, então p^4 - 1 é
múltiplo de
23 . 3 . 5 = 240 c.q.d.
Como contra-exemplo:
7^4 - 1 = (7^2 + 1).(7 + 1).(7 - 1) = 50 . 8 . 6 = 25 . 31 . 52
11^4 - 1 = (11^2 + 1).(11 + 1).(11 - 1) = 122 . 12 . 10 = 24 . 31 . 51 . 611
13^4 - 1 = (13^2 + 1).(13 + 1).(13 - 1) = 170 . 14 . 12 = 24 . 31 . 51 . 71
.
171
17^4 - 1 = (17^2 + 1).(17 + 1).(17 - 1) = 290 . 18 . 16 = 26 . 32 . 51 . 291
De fato, o M.D.C.(7^4 - 1, 11^4 - 1, 13^4 - 1, 17^4 - 1) = 24 . 3 . 5 = 240.
Gostaria que vocês verificasse se estes meus argumentos são plausíveis.
From: "Qwert Smith" <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 16:45:51 -0400
Eu vi depois de apertar send que devia ter testado divisibilidade por 3 e
mesmo sem fatorar da pra ver que p^4 - 1 = 0 mod 3, ja que p = 1 mod 3 ou p
= -1 mod 3
Entao logo de cara eu ja devia ter mudado a resposta para pelo menos 2*3*5
= 30.
Mas pegando carona na sua resposta (embora o merito seja seu :D ):
"p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8"
Ta bom 2x*2y*2z e divisivel por 8.
"Mas na verdade p-1 ou p +1 são divisíveis por 4."
Entao temos 2x*4s*2z ou 2x*2y*4t o que e divisivel por 16.
Logo o maior numero garantido e 2^4*3*5 = 240, confere?
From: Carlos Eddy Esaguy Nehab <[EMAIL PROTECTED]>
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To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 17:22:05 -0300
Oi,
Você deve ter razão quanto à formulação mas trivialmente sua solução pode
ser melhorada para 120 (embora o mérito seja seu), pois
p^4 - 1 = (p^2 +1)(p -1 )(p+1) que é (obviamente) divisível por 8 e além
disso, p-1 ou p+1 é divisível por 3. Mas na verdade p-1 ou p +1 são
divisíveis por 4. Logo... vale a melhoria 120, mas também não sei como
melhorá-la mais um pouquinho nem poucão...
Abraços,
Nehab
At 12:47 31/8/2006, you wrote:
Eu acho que outros nao se interessaram pela questao por ela estar mal
formulada.
Se a resposta e pra ser dada em funcao de p entao obviamente p^4 - 1 e a
resposta.
Se a pergunta e o maior inteiro que garantidamente divide p^4-1 pra
qualquer p primo > 5 entao acho que a resposta e 10.
p^4-1 = 0 mod 2
p^4-1 = 0 mod 5
ja que pelo pequeno teorema de fermat, com a e p co-primos vale a^(p-1)
= 1 mod p.
Logo 10 e garantidamente um divisor de p^4-1 pra qualquer p. Mas
certamente nao vai ser o maior divisor.
From: its matematico <[EMAIL PROTECTED]>
Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
To: obm-l@mat.puc-rio.br
Subject: Re: [obm-l] Primo e divisor
Date: Thu, 31 Aug 2006 15:06:13 +0000 (GMT)
Acho q tenho uma solução razoável:
se p é primo e p>5 então p é ímpar, sendo assim p^4 é ímpar, logo
p^4-1 é par
e sendo assim o maior inteiro q divide p^4-1 é: (p^4-1)/2
Alguma objeção à resposta???
Espero ter contribuído...
Até +,
Ítalo
João Luís Gomes Guimarães <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Se isso fosse uma questão de prova, eu responderia que o maior
inteiro que
divide p^4 - 1 é...... p^4 - 1 !!!!! e ninguém poderia colocar objeção,
hehehehehe... mas é claro, apesar de não ter sido explicitado, que a
solução
procurada exclui o próprio p^4 - 1.
Apenas uma brincadeirinha pra descontrair. Vou pensar na solução aqui e,
se
a encontrar, posto depois.
Abraços,
João Luís.
----- Original Message -----
From: "Ricardo Khawge"
To:
Sent: Thursday, August 31, 2006 8:51 AM
Subject: [obm-l] Primo e divisor
> Eu e colega estamos resolvendo alguns problemas e não conseguimos
fazer
> um deles. Ele pediu ajuda mas ninguém se interessou pelo problema,
não sei
> se é por ser muito fácil. Se puderem dar uma ajuda estamos postando
aqui
> e agradecemos qualquer colaboração.
>
> "Determine o maior inteiro que divide p^4 - 1, onde p é um primo
maior que
> 5."
>
> Tchau
>
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