Mas sera que existe alguma funcao derivavel cuja derivada seja descontinua num subconjunto denso no seu dominio? Como derivadas tem a propriedade do valor intermediario, as descontinuidades duma tal funcao (caso exista) devem ser do tipo zig-zag. Ou seja, aquele exemplo classico de funcao que e descontinua nos racionais e continua nos irracionais (f(x) = 1/q, se x = p/q (com p inteiro, q natural e p, q primos-entre si) e f(x) = 0, se x e irracional) nao e derivada de funcao alguma, pois sua imagem esta contida em [0,1] mas so contem 0 e racionais da forma 1/q.
Baseado no exemplo do Nicolau, eu pensei na sequencia de funcoes (f_n) dada por: f_n(x) = sen^2(nx)*cos(g(1/sen^2(nx))), se x <> k*pi/n e f_n(x) = 0, caso contrario. So que eu tenho a impressao de que esta sequencia nao converge (ja que (h_n) dada por h_n(x) = sen^2(nx) nao converge - se convergisse para h, quem seria h(1)? - para x <> multiplo racional de pi, o conjunto de valores de aderencia da sequencia (h_n(x)) e o intervalo [0,1]). Enfim, como o Artur disse, a ideia da demonstracao deve vir de alguma outra area da matematica... []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Wed, 1 Nov 2006 16:46:57 -0200 Assunto: Re: [obm-l] Função Lipschitz em um subintervalo > On Wed, Nov 01, 2006 at 07:33:36AM -0800, Artur Costa Steiner wrote: > > A demonstração do fato citado a seguir é, a primeira vista, muito simples (e > > talvez seja mesmo): > > > > Suponhamos que f:I->R seja diferenciavel em um intervalo aberto I de R. > > Existe, então, um subintervalo de I no qual f eh Lipschitz. > > Eu não tenho certeza se este fato é verdadeiro mas se for acho > que a demonstração não deve ser tão simples assim. > > Tome f(x) = x^2 cos(g(x^(-2))) para x diferente de 0 e f(0) = 0 > onde g: R -> R é uma função suave de crescimento rápido. > Fora de x = 0, f é claramente suave. Em x = 0, f é derivável. > Mas é fácil ver que a derivada de f perto de 0 assume valores > arbitrariamente grandes. Assim, f não é Lipschitz em nenhum > subintervalo cujo fecho inclua 0. > > Este exemplo não refuta o fato mas mostra que diferenciabilidade > nem sempre implica localmente Lipschitz. > > A classe das funções diferenciáveis não é, aliás, das mais bem comportadas. > Por isso as pessoas preferem estudar C^1 (derivada contínua) > ou H^1 (Sobolev, derivada em L^2), que são espaços de Banach e Hilbert, > respectivamente, com normas bastante naturais. Nestes dois espaços > o problema análogo é fácil. > > []s, N. > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
