Basta, de fato, supor que f eh continua em um unico elemento a de (0, inf). Pois, entao, lim (x -> a) f(x) - f(a) = lim(x -> a) f(x/a) = lim (t ->1) f(t) = 0 = f(1), do que concluimos que f eh continua em t =1. Para todo y de (0, inf) temos entao, para todo x tambem em (0, inf) que f(x) - f(y) = f(x/y). Logo, lim (x -> y) f(x) - f(y) = lim (x -> y) f(x/y) = lim(t-> 1) f(t) = f(1) = 0, do que concluimos que f eh continua em todo y de (0, inf).
----- Original Message ---- From: claudio.buffara <[EMAIL PROTECTED]> To: obm-l <obm-l@mat.puc-rio.br> Sent: Tuesday, November 7, 2006 11:39:33 AM Subject: [obm-l]Re:[obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica? ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Fri, 3 Nov 2006 10:37:27 -0300 Assunto: [obm-l] RES: [obm-l] Função Logarítmica? > > Certa vez me disseram (ou eu li) que a única função real que f(xy) = f(x) > + f(y) é a função log. Isso está correto? Realmente não tive idéias para > resolver essa > > > Se vc admtir que f nao eh identicamente nula e eh derivavel em pelo menos um > elemento de R, ai sim f eh a funcao eh a logaritmica > > E se supusermos apenas que f:(0,+inf) -> R e continua e tal que f(b) = 1, para algum b > 0? Nesse caso, temos (sem supor continuidade): f(x) = f(1x) = f(1) + f(x) ==> f(1) = 0. 0 = f(1) = f(x*1/x) = f(x) + f(1/x) ==> f(1/x) = -f(x) f(x^n) = nf(x) (por inducao; n em N) ==> (deducoes faceis) f(x^r) = rf(x) (r em Q) A = {b^r | r em Q} e denso em (0,+inf) Dem: Dado o intervalo (p,q) contido em (0,+inf), tome: b > 1 ==> r entre log_b(p) e log_b(q) ou simplesmente r < log_b(q) se p = 0; b < 1 ==> r entre log_b(q) e log_b(p) ou simplesmente r > log_b(q) se p = 0. Em qualquer caso, teremos p < b^r < q. Seja a funcao logaritmo na base b ==> log_b: (0,+inf) -> R. Para todo r em Q, f(b^r) = rf(b) = r = log_b(b^r) ==> f e log_b coincidem em A. Como f eh continua e A e denso em (0,+inf), f = log_b em (0,+inf). []s, Claudio. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================