Bruna, A resposta é C, visto que se (a,f,n) é uma PA e uma PG (com termos
não negativos) implica que os três termos são iguais (veja o meu argumento
abaixo!), o que é impossível pois o avô o filho e o neto não podem
evidentemnte ter a mesma idade!
Sejam a, f , n três números que nesta ordem formam uma PA e uma PG
simultâneamente, então
Se (a,f,n) é uma PA ==> f -a = n - f ==> f = (a+n)/2
Se (a,f,n) é uma PG ==> f/a = n/f ==> f^2 =a.n ==> f= sqrt(a.n) , pois
estamos supondo f>0.
Assim, temos que f = (a+n)/2 e f= sqrt(a.n) ==> sqrt(a.n)=(a+n)/2 ,
noutras palavras a média geometrica entre a e n e a media aritmética entre a
e n são iguais! É um fato bem conhecido que essa igualdade só ocorre se os
números a e n forem iguais. Assim temos que a=n. Como f = (a+n)/2 = (a+a)/2
= a. Logo a=f=n.
Obs. Para mostrar que sqrt(x.y)=(x+y)/2 <==> x = y. Faça o seguinte....
sqrt(x.y)=(x+y)/2 ==> 2.sqrt(x.y) = x+y ==> [sqrt(x)]^2 -
2.sqrt(x).sqrt(y) + [sqrt(y)]^2 = 0 ==> [sqrt(x)-sqrt(x)]^2=0 ==>
sqrt(x)=sqrt(y) ==> x=y. A recíproca é óbvia!
Cgomes
----- Original Message -----
From: "Bruna Carvalho" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Monday, February 05, 2007 8:09 PM
Subject: [obm-l] Progressões
Um senhor tem a anos de idade, seu filho tem f anos de idade e seu
neto, n. Sobre estes valores, podemos afirmar:
(A) É impossível que a, f e n estejam em progressão aritmética.
(B) É impossível que a, f e n estejam em progressão geométrica.
(C) É impossível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão
aritmética e geométrica.
(D) É possível que a, f e n estejam simultaneamente em progressão
aritmética e geométrica.
(E) É possível que a, f e n estejam em progressão aritmética, mas é
impossível que estejam em progressão geométrica.
--
Bjos,
Bruna
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http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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