Oi claudio, Leia com atencao. Eu disse que NO CASO DA SERIE GEOMETRICA . Alem disso, voce ja sabe a forma definitiva do polinomio TRABALHAVEL ou SOMAVEL ? E aqui que esta a graca do problema ...
Se nos ficarmos discutindo detalhes nao chegaremos a lugar algum. O que e importante e o total sentido da questao e que ha uma resposta definitiva em formula fechada. Se voce quer trabalhar nisso pense assim : Dado S = 1 + q + ... + q^[N(N+1)/2] + ... . Exprima esta soma em funca de "q" SUGESTAO 1 : usando o exemplo da serie geometrica, multiplique S por um expressao conveniente de forma que o resultado seja mais facilmente trabalhavel SUGESTAO 2 : IMAGINE que os termos de S foram retirado de uma PG infinita T = 1 + q + q^2 + q^3 + ... O que sobra em T sao PG's facilmente somaveis. Isso permite obter uma formula de recorrencia para Sn. Trabalhe nesta formula Este resultado e uma generalizacao do conceito de Progressao Geometrica. Eu chamava de PROGRESSAO GEOMETRICA DE 2 ORDEM, quando era crianca. Eis aqui o problema para a terceira ordem : Seja reais positivos A1, A2, ..., An, ... tal que An+1 / An = q^[N(N-1)/2]. Onde 0 < q <1. Exprima em funcao 'q" a soma infinita A1 + A2 + A3 + ...+ An + ... De maneira geral, se 0<q<1, a serie S = q^A1 + q^A2 + q^A3 + ... + q^An + ... e uma PROGRESSAO GEOMETRICA INFINITA DE ORDEM R SE A SEQUENCIA A1, A2, ... e uma progressao aritmetica de ordem R. Estas designacoes de PG's de ordem superior eu criei para o meu uso particular, quando ainda era crianca, e muito provavelmente nao sao usadas por nenhum outro Matematico. Foi apenas uma brincadeira infantil. Seja S = S = q^A1 + q^A2 + q^A3 + ... + q^An + ... uma PROGRESSAO GEOMETRICA INFINITA DE ORDEM R. Exprima, em funcao de "q" e de A1, A2, ... o valor para onde S converge ( 0 < q < 1) Um Abracao Paulo Santa Rita 4,0C56,140207 Em 14/02/07, claudio.buffara<[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
Oi, Paulo: Se existir um tal polinomio p(q), entao eh facil ver que os coeficientes serao inteiros (eh soh montar a recorrencia). No entanto, nao pode existir um tal polinomio pois, se tivermos: p(q) * SOMA(k>=1) q^(k(k-1)/2) = SOMA(n>=0) q^n = 1/(1-q), se |q| < 1. entao, com q = 1/2, teriamos: SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) = 2/p(1/2) ==> Mas, pelo teorema das raizes racionais, p(1/2) <> 0 e, alem disso, eh claramente racional. Logo, 2/p(1/2) eh racional. No entanto, SOMA(k>=1) (1/2^(k(k-1)/2)) eh irracional (basta ver que, em base 2, esta soma eh uma decimal infinita e nao periodica) ==> contradicao ==> nao existe p(q). []s, Claudio. ---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: obm-l@mat.puc-rio.br Cópia: Data: Tue, 13 Feb 2007 17:58:20 +0000 Assunto: RE: [obm-l] Problemas em aberto > > Ola Ronaldo e demais colegas > desta lista ... OBM-L, > > Parabens, a sua intuicao e muito boa. Eu acho que se voce parar para pensar com mais calma, sem pressupostos, vai resolver... > Talvez falte voce observar o seguinte : > > Na serie geometrica bem conhecida Sn = 1 + q + q^2 + ... + q^(N-1), 0 < q < 1, como calculamos o LIM Sn quando N vai para > o infinito ? Em geral, fixamos N e multiplicamos Sn por UM POLINOMIO p(q) EM "q", CONVENIENTE, tal que > > p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES. > > no caso particular da serie geomentrica temos que p(q) = q - 1 pois (q - 1)*Sn =q^N - 1. A seguir, dado que q^N -> 0 quando N > vai para o infinito seque que Sn = 1/(1-q). Note que aqui p(q)*sn= ALGO MAIS SIMPLES. Poderia ser tambem algo somavel ou computavel ... > > Seja agora Sn = 1 + q + q^3 + ... + q^[(N(N-1))/2]. Quem e p(q) tal que > > p(q)*Sn = ALGO SOMAVEL OU MAIS SIMPLES ? > > Eis uma questao na qual um software como o MAXIMA ou OCTAVE facilita muito as coisas, pois nos permite fazer experiencias com as > diversas possibilidades do polinomio p(q) que precisamos descobrir. > > E com os melhores votos > de paz profunda, sou > Paulo Santa Rita > 3,0F38,130207 > > ________________________________ > > Date: Tue, 13 Feb 2007 12:50:30 -0300 > > From: [EMAIL PROTECTED] > > To: obm-l@mat.puc-rio.br > > Subject: Re: [obm-l] Problemas em aberto > > > > Se o termo n(n-1)/2 fosse n(n+1)/2 ele seria a soma de uma P.A. com os n primeiros naturais. > > Não parei ainda para pensar com calma, mas será que esse problema não está relacionado com partições de inteiros e > > a função de Euler ? > > http://en.wikipedia.org/wiki/Integer_partition > > Note que o termo de x^n que é p(n) conta o número de vezes em que é possível escrever n = a_1 + 2a_2 + 3a_3 + ... onde cada a_i > > aparece i vezes. > > Bem, alguém já deve ter pensado nisso, então o que eu falei não ajuda muito ... :) > > []s > > Ronaldo > > _________________________________________________________________ > Busque em qualquer página da Web com alta proteção. Obtenha o Windows Live Toolbar GRATUITO ainda hoje! > http://toolbar.live.com/ > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
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