> 2. Num espaco metrico compacto, uma sequencia (x(n)) eh tal que lim(n->+inf) 
> dist(x(n+1),x(n)) = 0.
> Prove que o conjunto de valores de aderencia de (x(n)) eh conexo.
>
> Eu provei no caso de (x(n)) ser uma sequencia limitada na reta.
> Se x(n) -> a, entao A = conjunto dos valores de aderencia de (x(n)) = {a}, 
> que eh conexo.
> Se x(n) nao converge, sejam a = liminf(x(n)) e b = limsup(x(n)).
> (a e b existem pois (x(n)) eh limitada e, alem disso, a < b, pois (x(n)) 
> diverge)
> Finalmente, seja c tal que a < c < b.
> Tomemos eps > 0.
> Podemos supor spdg que eps eh pequeno o bastante para que os intervalos 
> (a-eps,a+eps), (c-eps,c+eps) e (b-eps,b+eps) sejam
> disjuntos dois a dois.
> Seja k_0 em N tal que k > k_0 ==> |x(k+1) - x(k)| < eps.
> Seja m > k_0 tal que x(m) pertence a (a-eps,a+eps).
> Seja n o menor inteiro maior do que m tal que x(n) pertence a (b-eps,b+eps).
> (m e n existem pois a e b sao limites de subsequencias de (x(n)) )
> Eh claro que x(m) < c-eps < c+eps < x(n).
> Seja X = {r em N | m <= r <= n e x(r) <= c-eps}.
> Naturalmente, X eh nao-vazio (m pertence a X) e limitado superiormente (por 
> n, que nao pertence a X, mas isso nao importa).
> Seja r = maior elemento de X.
> Entao, x(r) <= c-eps < x(r+1) e, portanto, x(r+1) < c+eps, pois se fosse 
> x(r+1) >= c+eps, entao:
> |x(r+1) - x(r)| >= 2*eps, o que eh impossivel pois r >= m > k.
> Logo, x(r+1) pertence a (c-eps,c+eps).
> Ou seja, para cada eps > 0, existe n em N tal que x(n) pertence a 
> (c-eps,c+eps) ==>
> c eh um valor de aderencia de (x(n)).
> Como c eh um elemento arbitrario de (a,b), concluimos que (a,b) estah contido 
> em A.
> Como a = min(A) e b = max(A), concluimos que A = [a,b] = conexo.
>


No caso geral, temos que A (conjunto de valores de aderência de (x(n)) é 
fechado (um bom exercício é provar isso). Como o espaço é compacto, A é 
compacto.

Suponhamos que A não seja conexo.
Então, podemos escrever A = B uniao C, onde B e C são compactos disjuntos e 
não-vazios. Temos dist(B,C) = d > 0 (outro bom exercício)

B pode ser coberto por um número finitos de bolas abertas com centro em algum 
ponto de B e raio = d/3 (Heine-Borel-Lebesgue). Idem para C. Chame a união 
dessas bolas de VB e VC respectivamente ("V" de vizinhança...).
Temos que dist(VB,VC) >= d/3 (mais um exercício)

Seja k_0 em N tal que para todo k > k_0, dist(x(k+1),x(k)) < d/3.
Seja m > k_0 tal que x(m) pertence a VB. Um tal m existe pois alguma 
subsequencia de (x(n)) converge para algum ponto de B.
Seja p o menor inteiro maior que m tal que x(p+1) pertence a VC. Um tal p 
também existe pois alguma subsequencia de (x(n)) converge para algum ponto de C.

Não é difícil ver que x(p) não pertence a VB nem a VC.
Não pertence a VC pela escolha de p e não pertence a VB pois, se esse fosse o 
caso, como p > m > k_0, teríamos:
d/3 > dist(x(p+1),x(p)) >= dist(VC,VB) >= d/3, o que é uma contradição.

Assim, para cada par (m,n) em NxN com m < n tal que x(m) pertence a VB e x(n) 
pertence a VC, vai existir p com m < p < n tal que x(p) não pertence a VB união 
VC. Como o conjunto dos pares (m,n) é infinito, o conjunto dos p também é. Ou 
seja, (x(p)) é uma subsequência de (x(n)) cujos pontos não pertencem a VB união 
VC. Como o espaço é compacto, (x(p)) é limitada e, portanto, possui uma 
subsequência convergente para um ponto c, o qual também não pertence a VB unão 
VC (pois o complementar de VB união VC é fechado). Logo, c é um valor de 
aderência de (x(n)) que não pertence a VB união VC e, com mais razão ainda, não 
pertence a B união C = A ==> contradição.

A única origem possível dessa contradição é a hipótese feita inicialmente de A 
não ser conexo. Logo, concluímos que A é conexo.


Belo problema esse! Eu levei um bom tempo pra formalizar uma solução apesar da 
idéia básica ser simples: pra sequência alternar infinitas vezes entre VB e VC, 
uma infinidade de termos teria que estar no complementar de B união C, já que, 
a partir de um certo ponto, a distância entre dois termos consecutivos é menor 
do que a distância entre VB e VC. Por causa da compacidade do espaço, esses 
termos teriam que se acumular no espaço entre B e C e formar uma "ponte" conexa 
entre os dois conjuntos.


[]s,
Claudio.

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