Oi Rafael e demais colegas da lista,
Eu também já vi um execício no qual tinha uma equação do quarto e o cara
conseguiu
Transformá-la em um produto de dois polinomios de segundo grau,afirmando que
utilizou
O chamado teorema de Gauss sem ao menos enunciá-lo . Fiquei intrigado com
isso pois
Achei interessante a fatoração.Não sei que teorema de Gauss é esse,mas
observando a fatoração elaborei as seguintes estratégias não sei se estão
totalmente certas gostaria da opnião dos colegas,com essas estratégias
conseguimos resolver questões interessantes,veja:
P(x)=x^4 + a_3x^3 + a_2x^2 + a_1x + a_0
P(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
(i) b.d = a_0
(ii)a+c=a_3
(iii)ac=a_2-(d+b)
delta = (-a_3)^2 - 4.1.[a_2-(d+b)] = 4(d+b) + a_3^2 - 4a_2
De (i) achamos todos os inteiros b e d tais que b.d=a_0
Para auxiliar observe os exemplos:
.............................
Exemplo1:IME-04/05-questão4
x^4-2x^3-11x^2+18x+18=0
{b,d}={1,18}{-1,-18}{2,9}{-2,-9}{3,6}{-3,-6}
delta = 4(d+b)+48 = 4(d+b+12) vamos pegar aqueles que tornam delta quadrado
perfeito {d,b}={-2,-9}
temos o sistema:
a+c=-2 =>{a,c}={0,-2}
ac=0
P(x)=(x^2+b)(x^2-2x+d) =>-2b=18 =>b=-9 logo d=-2
E temos a fatoração: P(x)=(x^2-9)(x^2-2x-2)
..........................
Exemplo2: IME-04/05-questão4
x^4-12x^3-44x^2-32x-52=0
{b,d}={1,-52}{-1,52}{2,-26}{-2,26}{4,-13}{-4,13}
delta=4(d+b+80) => não dá pra fazer,pois não existe b e d tais que
4(d+b+80)seja quadrado perfeito
................................
Exemplo3:IME-05/06-questão2
P(x)=x^4-6x^3+15x^2-18x+10
{b,d}={1,10}{-1,-10}{2,5}{-2,-5}
delta=4[(d+b)-6] pra ser q.perf=> {b,d}={2,5}
a+c=-6 =>{a,c}={-4,-2}
ac=8
p(x)=(x^2-4x+b)(x^2-2x+d) => -4d-2b=-18 => 2d+b=9 => d=2, b=5
p(x)=(x^2-4x+5)(x^2-2x+2)
..........
Exemplo4:IME-01/02-questão9
sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
elevando ao quadrado temos a seguinte equação do quarto grau:
x^4-10x^2+x+20=0
{b,d}={1,20}{-1,-20}{2,10}{-2,-10}{4,5}{-4,-5}
cuidado quando a_3=0!
a+c=a_3=0
ac=a_2-(b+d)
temos: a^2-Soma.a+Produto=0 => a^2=-P
ac=a_2-(b+d) deve ser negativo e -P=-ac deve ser quad.perfeito
ac = -10-(b+d) logo {b,d}={-5,-4} e temos o sistema a+c=0=>{a,c}={-1,1}
ac=-1
p(x)=(x^2-x+b)(x^2+x+d) =>-d+b=1 =>d=-5 , b=-4
p(x)=(x^2-x-4)(x^2+x-5)
Abraços,Ricardo J.F.
----- Original Message -----
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[email protected]>
Sent: Thursday, February 15, 2007 9:55 PM
Subject: Re: [obm-l] lema de gauss
Na verdade eu queria mesmo saber como que o lema de gauss ajuda na
fatoracao de um polinomio, pois nesse exercicio se voce resolver do
jeito tradicional (quadrando a equacao) voce chega numa equacao de 4
grau que "pelo lema de gauss" vira uma fatoracao de dois polinomios de
grau2. Como assim ???
Mas ja que comecaram a resolver o exercicio... Carlos, ja vi alguem
falar sobre provar a convergencia daquela serie, mas nao estou
familiarizado (ainda nao) com a manipulacao algebrica de convergencia
e divergencia. Acho que sei o que que significa, se ela vai parar em
algum valor ou se ela nao chega a valor algum, mas nunca fiz um
exercicio que tivesse que provar a convergencia de uma serie.
Salhab, porque voce tomou 5-x = x^2 ??? provavelmente ha uma parte do
exercicio que voce enxergou e eu ainda nao. poderia me dizer qual é?
P.S.: A solucao que eu tinha visto ate entao era essa que usa o tal de
de lema de gauss, e outra que chama sqrt(5-x) de y e comeca a
desenvolver o sistema.
Obrigado
On 2/15/07, Marcelo Salhab Brogliato <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá,
observe que, se 5-x = x^2, temos:
sqrt(5-sqrt(5-x)) = sqrt(5-x) = x
resolvendo, obtemos: x^2 + x - 5 = 0 ... x = [-1 +- sqrt(21)]/2
queremos o resultado positivo, entao: x = [sqrt(21) - 1] / 2
espero ter ajudado,
abraços,
Salhab
----- Original Message -----
From: "Rafael" <[EMAIL PROTECTED]>
To: <[email protected]>
Sent: Thursday, February 15, 2007 5:27 PM
Subject: [obm-l] lema de gauss
Ha um tempo atras apareceu na lista um problema do ime mais ou menos
assim:
sqrt(5-sqrt(5-x)) = x
Um dos participantes da lista sugeriu o lema de gauss para resolver a
questao.
O que seria exatamente esse lema de gauss e mais importante ainda:
Como ele pode me ajudar a resolver essa questao ( ja que pelo pouco
que entendi ele nao é um algoritmo para fatorar polinomios) ???
Obrigado
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Rafael
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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Rafael
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