Ah, esse é um grande clássico! Estamos somando termos da forma 1/(cos k.cos(k+1)), com medidas em graus.
Antes de continuar, vale a pena mostrar um exemplo de soma telescópica parecida, mas mais simples, que é a soma 1/(1.2) + 1/(2.3) + ... + 1/(88.89) de termos do tipo 1/(k.(k+1)). A idéia é escrever essa fração como soma de frações parciais, ou seja, encontrar constantes A e B tais que 1/(k.(k+1)) = A/k + B/(k+1) Abrindo tudo e fazendo identidade de polinômios, encontramos A = 1 e B = -1, de modo que a soma é igual a (1/1 - 1/2) + (1/2 - 1/3) + ... + (1/88 - 1/89) = 1 - 1/89 = 88/89 Tendo essa idéia em vista, vamos encontrar uma função f(n) de Z em R tal que 1/(cos k.cos(k+1)) = f(k)/cos k - f(k+1)/cos(k+1) Tirando o mínimo e eliminando denominadores, encontramos 1 = f(k)cos(k+1) - f(k+1)cos k Parece alguma fórmula familiar? Compare com sen(a - b) = sen a cos b - sen b cos a (forçando um pouco mais a barra: faça a = k+1 e b = k) Então parece valer a pena tomar f(n) = C.sen n. Fazendo umas contas não é difícil ver que C = -1/sen 1. Assim 1/(cos k.cos(k+1)) = 1/sen1(sen k/cos k - sen(k+1)/cos(k+1)) e a soma pedida é 1/(cos0.cos1) + 1/(cos1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = -1/sen1((sen0/cos0 - sen1/cos1) + (sen1/cos1 - sen2/cos2) + ... + (sen88/cos88 - sen89/cos89)) = -1/sen1(sen0/cos0 - sen89/cos89) = -1/sen1(0 - cos1/sen1) = cos1/sen^2(1). []'s Shine ----- Original Message ---- From: Rogério Possi Júnior <[EMAIL PROTECTED]> To: [email protected] Sent: Wednesday, February 28, 2007 8:11:51 PM Subject: [obm-l] USAMO - Soma trigonométrica. Caros, Alguém consegue resolver essa usando soma telescópica? (USAMO-1992) Mostre que 1/(cos 0.cos 1) + 1/(cos 1.cos2) + ... + 1/(cos88.cos89) = cos(1)/sen^2(1). Rogério _________________________________________________________________ MSN Messenger: instale grátis e converse com seus amigos. http://messenger.msn.com.br ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html ========================================================================= ____________________________________________________________________________________ Sucker-punch spam with award-winning protection. Try the free Yahoo! Mail Beta. http://advision.webevents.yahoo.com/mailbeta/features_spam.html ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
