Olá Bruna, vou acrescentar alguns comentários 'as demonstrações dos colegas que podem passar despercebidos a você em uma primeira leitura.
On 3/24/07, saulo nilson <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
n^2-1=(2t+1)^2-1 =4t^2+4t=4t(t+1)
Se n é impar n se escreve como n = 2t+ 1 para todo t, logo temos que n^2 -1 = 4t(t+1) que é divisível por 4, logo é congruente a zero mod 4 (resto da divisão é zero). Por outro lado o colega Saulo está afirmando que t(t+1) é congruente a zero mod 2, ou seja, é divisivel por 2. Veja, temos que : 1) Se t for par então automaticamente t(t+1) é divisivel por 2, porque é o produto de um par por um impar, respectivamente (t é par e t+1 é impar). Se t for impar então t é impar, mas t+1 é par e t(t+1) é o produto de um impar por um par, respectivamente.
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4t(t+1)=0mod8 Agora note que 4t(t+1) é divisivel por 4, por causa do quatro "na frente". E que 4t(t+1) também é divisivel por 2, mas agora não por causa do 4, mas porque t(t+1) é divisivel por 2 e isso não tem nada a ver com o fator 4. Logo essas "divisibilidades" são independentes e 4t(t+1) é divisivel por 8, porque é divisivel por 4 e por 2. Assim podemos escrever: 4t(t+1) = 0mod8 aqui o = significa congruente e não igual. Uma coisa que é mais ou menos óbvia, mas que pode ser muito dificil de perceber a priori para resolver esse exercício é perceber que t (t+1) é sempre divisível por 2 para todo valor de t inteiro. Isso pode ser verificado por inspeção (tome t= 1, 2, 3 etc e verifique). Ou também por indução. Sallab mostrou, inclusive, que o problema todo pode ser resolvido por indução, como você deve ter checado. Bem, espero que minhas explicações não a tenham deixado mais confusa. Qq dúvida pergunte! Abraço! Ronaldo Luiz Alonso
On 3/24/07, Bruna Carvalho <[EMAIL PROTECTED]> wrote: > > Se n é ímpar, prove que n²-1 é divisível por 8. > Eu quero aprender como faz esse tipo de questão por congruência, alguém > pode me dar uma ajudinha. > bjos. > > -- > Bjos, > Bruna
-- --------------------------------------------------------- Analista de Desenvolvimento Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP.