Buenas, Vamos começar pela fórmula da integral por partes:
int(a..b)(u dv) = uv(b)-uv(a) -int(a..b)(v du) No caso, temos: u = arctan(pi.x) - arctan(x) v = ln(x) int(0..+oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = lim(x->oo)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - lim(x->0)( (arctan(pi.x) - arctan(x) )*ln(x) - int(0..oo)( (Pi/(1+Pi^2*x^2)-1/(1+x^2) )*ln(x)) dx O segundo limite é zero (basta olhar a expansão de taylor para arctan(x)). O primeiro limite também é zero. Uma forma de ver pode ser: (arctan(pi.x) - arctan(x))*ln(x) = (arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) lim(x->oo) ((arctan(pi.x) - arctan(x)) / (1/ln(x)) = LHospital => lim(x->oo) (( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x)^2*x ) = 0 Então ficamos com: int(0..+oo)( ( arctan(pi.x) - arctan(x) )/x dx = int(0..oo)( -f(x) ) dx, Onde: f(x) = ( Pi/(1+Pi^2*x^2) - 1/(1+x^2) ) * ln(x) Agora vamos considerar a integral tomada entre -oo e +oo, e lembrar que, para x E R>0, ln(-x)=ln(x)+i*Pi. Assim: int(-oo..+oo)(f(x)) dx = 2*int(0..oo) f(x) dx + i*Pi*int(0..oo) Pi/(1+Pi^2*x^2) -1/(1+x^2)) dx Bem, int(-oo..+oo) f(x) dx pode ser calculada por resíduos. Depois, vc toma a parte real para calcular int(0..oo) f(x) dx => f(x) tem dois pólos no semiplano complexo z=x+i*y com y>0, que são: z=i e z=i/Pi. Res(z=i) = lim( x->i ) ( f(x)*(x-i) ) = -Pi/4 Res(z=i/Pi) = lim( x->i/Pi )( f(x)*(x-i/Pi) ) = Pi/4 +i/2*ln(Pi) int(-oo..+oo) f(x) dx =2*Pi*i*( -Pi/4+Pi/4+i/2* ln(Pi)) int(-oo..+oo) f(x) dx = -Pi*ln(Pi) A integral pedida é então: int(0..+oo) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx = int(0..oo) -f(x) dx = 1/2 * Pi * ln(Pi) []´s Demetrio --- BRENER <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: > Ola, gostaria de uma ajudinha na integral > > int(0-->+00) (arctan(pi.x) - arctan(x))/x dx > ----- Original Message ----- > From: "Chicao Valadares" > <[EMAIL PROTECTED]> > To: <[email protected]> > Sent: Tuesday, April 03, 2007 1:59 PM > Subject: Re: [obm-l] PROBLEMAS INVULGARES! > > > > >Agora, vem a "bomba" que pouca gente > >> sabe desativar: Como > >> fracionar 7 pães entre 10 homens? (Campeão!) > > > > Divide cada pão em 10 pedaços e dá sete pedaços > pra > > cada homem. > > > > "O Binômio de Newton é tão belo como a Vênus de > Milo. > > O que há é pouca gente para dar por isso... " > > Fernando Pessoa - Poesias de Alvaro Campos > > > > > _________________________________________________________________ > > As informações existentes nessa mensagem e no(s) > arquivo(s) anexado(s) > > são > > para uso restrito, sendo seu sigilo protegido por > lei. Caso não seja > > destinatário, saiba que leitura, divulgação ou > cópia são proibidas. > > Favor > > apagar as informações e notificar o remetente. O > uso impróprio será > > tratado > > conforme as normas da empresa e a legislação em > vigor. Agradecemos sua > > colaboração. > > > > > > The information mentioned in this message and in > the archives attached > > are > > of restricted use, and its privacy is protected by > law. If you are not > > the > > addressee, be aware that reading, disclosure or > copy are forbidden. > > Please > > delete this information and notify the sender. > Inappropriate use will > > be > > tracted according to company's rules and valid > laws. Thank you for your > > cooperation. > > > > __________________________________________________ > > Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! > Messenger > > http://br.messenger.yahoo.com/ > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > > ========================================================================= > > > > E-mail classificado pelo Identificador de Spam > Inteligente Terra. > > Para alterar a categoria classificada, visite > > > http://mail.terra.com.br/cgi-bin/imail.cgi?+_u=carlosbrener&_l=1,1175669399.534323.4998.aldavila.hst.terra.com.br,4017,Des15,Des15 > > > > Esta mensagem foi verificada pelo E-mail Protegido > Terra. > > Scan engine: McAfee VirusScan / Atualizado em > 03/04/2007 / Versão: > > 5.1.00/4999 > > Proteja o seu e-mail Terra: > http://mail.terra.com.br/ > > > > > > > > -- > > No virus found in this incoming message. > > Checked by AVG Free Edition. > > Version: 7.5.446 / Virus Database: 268.18.26/746 - > Release Date: 4/4/2007 > > 1:09 PM > > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e > usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > __________________________________________________ Fale com seus amigos de graça com o novo Yahoo! Messenger http://br.messenger.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
