Na realidade, esta conclusao não se limita aa funcao seno, mas vale para 
qualquer funcao periodica, continua e nao constante. 
 
Vamos mostrar a seguinte afirmacao: Se f: R-> R  eh periodica, continua e nao 
constante em R, entao a funcao g(x) = f(x^2) não eh uniformemente continua.
 
Seja p>0 o periodo fundamental de f. Como f nao eh constante, existem a e b em 
R tais que f(a) <> f(b). Sejam a_n e b_n sequencias dadas por a_n = raiz(a +  
n*p) e b_n = raiz(b + n*p). Entao, lim (a_n - b_n) =0 e lim (g(a_n) - g(b_n)) = 
lim( f(a + n*p) -  f(b + n*p)) = lim (f(a) - f(b)) = f(a) - f(b) <> 0, pois 
f(a) <> f(b). Sabemos que uma funcao h eh uniformemente continua em R se, e 
somente se, para todas sequencias u_n e v_n em R tais (u_n - v_n) -> 0, 
tenhamos que (h(u_n) - h(v_n))  -> 0 . Como isto nao se verifica para o caso de 
g e das sequencias a_n e b_n, concluimos que g nao eh uniformemente continua. 
 
Corolario: Se f: R-> R  eh periodica, continua e nao constante em R, entao a 
funcao g(x) = f(x^2) não eh periodica.
 
Sabemos que, se uma funcao for periodica e continua em R, entao esta funcao eh 
uniformemente continua em R.  Dado que g eh continua (composicao de duas 
funcoes continuas) mas, conforme visto, nao eh uniformemente continua, 
segue-se, por contraposicao,  que g nao eh periodica em R.
 
 
[Artur Costa Steiner] 
 
 -----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Ronaldo Alonso
Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 12:59
Para: obm-l@mat.puc-rio.br
Assunto: Re: [obm-l] Perguntas de trigonometria





On 2/25/07, Pedro Costa < [EMAIL PROTECTED]> wrote: 

 
      Colegas da lista, me tire algumas duvidas.
 
  1. A função y=sen(x^2) não é períodica.Como demonstrar?

 
 
  Não existe T tal que f(x) = sen(x^2) = sen((x + T)^2)  = f(x+T) ==>
 
     x^2 = (x + T)^2 + 2k*pi  (k inteiro)
    x^2 = x^2 + 2xT + T^2 + 2k*pi
 
    2xT+T^2 + 2k*pi  = 0     
 
    T = (-2x +- raiz(4x^2 - 4k^2))/2 
       = -x +- raiz(x^2 - k^2)
 
   Bom... então se T depende de x, 
   é claro que a função não pode ser periódica ...
 
[]
 
 


  2. A função y=sen(x^n) onde é um racional, posso ter período para n diferente 
de um.Se não como faço para demonstrar.

 
 
     quem é um racional?
 


 3.  A função y=sen2 ( seno de 2 graus ou seno de 2 radiano).Que notação eu uso 
parar diferenciar ? 


  Neste caso não há notação específica (não que eu conheça).
 
[]s

-- 
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Analista de Desenvolvimento
Conselho Regional de Engenharia, Arquitetura e Agronomia de SP. 

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