OK, Bom, o Marcio Cohen sugeriu analisar a convergencia de uma outra serie interessante: Soma (n =2, oo) 1/(l(n)^ln(n)). Pensei em aplicar o fato de que esta serie converge sse Soma k=1, oo) s_k = Soma 2^k a_(2^k) convergir. Para todo n, s_k = 2^k/(ln(2^k)^ln(2^k)). O denominador eh ln(2^k)^ln(2^k) = (k* ln(2))^(k*ln(2)) = [(k*ln(2))^ln(2)]^k . Logo, s_k = [2/[(k*ln(2))^ln(2)]^k. Quando k -> oo, (k*ln(2))^ln(2) -> oo, pois ln(2) > 0. Assim, para k suficientemente grande temos (k*ln(2))^ln(2) > 4 e, portanto, 0 < s_k < (2/4)^k =(1/2)^k. Como a serie geometrica Soma (1/2)^k converge, Soma s_k tambem converge. Logo, Soma (n=2, oo) a_n comverge
[Artur Costa Steiner] gem original----- De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Claudio Gustavo Enviada em: quarta-feira, 11 de abril de 2007 14:14 Para: [email protected] Assunto: Re: [obm-l] RES: [obm-l] séries numéricas Na verdade eu gosto bastante de integrais. A solução do problema que postei por integrais já era conhecida minha, mas eu sabia que havia outra solução que se parecia com a demonstração da divergência da série harmônica. Porém não lembrava... Artur Costa Steiner <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Parece que amigo Claudio nao gosta muito de integrais, risos. Mas as vezes simplifica muito, e o teste da integral eh facil de entender. Ele compara a area entra a curva da funcao f(x) definida em [1, oo) com a area da "escada" que corresponde aa sequencia f(n). So serve quando f eh monoticamente decrescente e positiva (se for negativa, eh so tomar a simetrica). Mas a solucao do Paulo eh mesmo linda! Podermos tambem chegar a mesma conclusao utilizando o fato de que, se a_n eh monoticamente decrescente e positiva, entao Soma a_n converge se, e somente, se Soma 2^k a_(2^k) converge. So lembrando, o Teste M de Weierstrass tem outro objetivo, aplica-se a sequencia de funcoes. Diz que se f_n for uma sequencia de funcoes reais ou complexas para a qual exista uma sequencia de reais positivos M_n tais que |f_n| <= M_n para todo n e Soma M_n converge, entao f_n converge uniformemente para alguma funcao f. O Paulo utilizou o teste da comparacao: se 0 <= a_n <= b_n para todo n e Soma b_n converge, entao Soma a_n converge.Se Soma a_n diverge, entao Soma b_n diverge. Abracos artur http://br.messenger.yahoo.com/
