---------- Cabeçalho original ----------- De: [EMAIL PROTECTED] Para: [email protected] Cópia: Data: Mon, 14 May 2007 08:44:07 -0300 (BRT) Assunto: Re:[obm-l] Isometria
> > Claudio, imagine no R^2, T(0,0)=(0,1/2)= a e b_n = (1 - 1/(2n),0) dai > temos: |b_n| = 1 - 1/(2n) > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) mas a não eh o centro de um > segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido em B. > Nao eh mesmo, pois nesse caso, T(b_n) ou T(-b_n) (ou ambos) nao pertence a B. Pelo que eu provei abaixo, como b_n e -b_n sao simetricos em relacao a (0,0), T(b_n) e T(-b_n) sao simetricos em relacao a a = (0,1/2). Mas a maior corda contida em B que tem (0,1/2) como ponto medio mede raiz(3). Logo, se n > 4, entao |T(b_n) - T(-b_n)| = 2 - 1/n > 1.75 > raiz(3). Logo, n > 4 ==> pelo menos um dentre T(b_n) e T(-b_n) nao pertence a B. []s, Claudio. > Abs. > > > Rivaldo. > > Mas nao eh preciso que o limite de (b_n) esteja em B. De fato, (b_n) nem > > precisa ter um limite. > > Basta que o limite de |b_n| seja 1. > > Pense na situacao em R^2 com a norma euclidiana, por exemplo: > > Se T(0) = a <> 0, entao a maior corda do disco unitario que pode ter a > > como ponto tem comprimento 2*raiz(1-|a|^2) < 2. > > Logo, para n > 1/|a|^2, teremos |b_n| = 1 - 1/(2n) > 1 - |a|^2/2 > raiz(1 > > - |a|^2). > > Logo, |b_n - (-b_n)| = 2*(1 - 1/n) > 2*raiz(1 - |a|^2). > > Enfim, o importante eh que, qualquer que seja k e qualquer que seja a > > norma de R^(k+1) adotada, se a <> 0, entao a maior > > corda de B que tem a como ponto medio tem comprimento estritamente > > inferior a a. > > > > De qualquer forma, T eh isometria ==> > > T eh Lipschitz-continua (L = 1) ==> > > T eh uniformemente continua ==> > > T pode ser estendida a fronteira de B de modo que a funcao resultante seja > > uniformemente continua em fecho(B). > > Nesse caso, se (b_n) tiver um limite, este limite estarah em fecho(B). > > Mas, de novo, (b_n) nao precisa ter limite. Basta que (|b_n|) tenha. > > > > []s, > > Claudio. > > > > ---------- Cabeçalho original ----------- > > > > De: [EMAIL PROTECTED] > > Para: [email protected] > > Cópia: > > Data: Fri, 11 May 2007 18:13:25 -0300 (BRT) > > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > > > >> > > >> > >> Ola Claudio. > >> Assim tambem não da pra fazer, porque o conjunto > >> B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} não é fechado. Desse modo se tomarmos uma > >> sequencia de pontos em B não podemos garantir que o limite da sequencia > >> ainda esta em B. > >> > >> Abs. > >> > >> Rivaldo. > >> > >> > >> Tem razao. Mancada minha... > >> > > >> > O problema eh provar que: > >> > T:B -> B eh isometria ==> T(0) = 0, > >> > onde B = {x em R^(n+1) | |x| < 1} > >> > > >> > Aqui vai uma nova tentativa: > >> > > >> > Seja T(0) = a. > >> > Seja b um ponto qualquer de B. > >> > O simetrico de b (em relacao a 0) eh -b. > >> > Eh claro que b tambem pertence a B. > >> > Entao: > >> > |T(b) - a| = |T(b) - T(0)| = |b - 0| = |b| (*) > >> > Analogamente, |T(-b) - a| = |-b| = |b| (**) > >> > Alem disso, > >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > >> > 2|b| = |2b| = |b - (-b)| = |T(b) - T(-b)| ==> > >> > igualdade na desigualdade triangular, > >> > que associada a (*) e (**) implica que: > >> > T(-b) eh o simetrico de T(b) em relacao a a. > >> > > >> > Agora tome uma sequencia de pontos (b_n) tal que |b_n| = 1 - 1/(2n). > >> > Nesse caso: > >> > |T(b_n) - a| = |T(-b_n) - a| = 1 - 1/(2n) ==> > >> > a eh o centro de um segmento (aberto) de comprimento 2 - 1/n contido > >> em B. > >> > > >> > Quando n -> infinito, o comprimento do segmento tende a 2. > >> > Mas o unico ponto de B que pode ser o centro de um segmento de > >> comprimento > >> > 2 eh a origem. > >> > Logo, se a <> 0, entao, para n suficientemente grande, a nao poderah > >> ser o > >> > centro de um segmento de comprimento 2 - 1/n. > >> > Conclusao: a = 0. > >> > > >> > Acho que agora foi... > >> > > >> > []s, > >> > Claudio. > >> > > >> > ---------- Cabeçalho original ----------- > >> > > >> > De: [EMAIL PROTECTED] > >> > Para: [email protected] > >> > Cópia: > >> > Data: Wed, 9 May 2007 03:00:27 -0300 (BRT) > >> > Assunto: Re:[obm-l] Isometria > >> > > >> >> > ---------- Cabeçalho original ----------- > >> >> > > >> >> > De: [EMAIL PROTECTED] > >> >> > Para: [email protected] > >> >> > Cópia: > >> >> > Data: Tue, 8 May 2007 01:59:26 -0300 (BRT) > >> >> > Assunto: [obm-l] Isometria > >> >> > > >> >> >> >Ola Claudio. > >> >> Na verdade pra valer a desigualdade triangular estrita > >> precisariamos > >> >> garantir que T(b), a e T(-b) nao sao colineares. O fato de ter b, a, > >> >> -b > >> >> nao colineares nao garante esse fato. > >> >> > >> >> Abs. > >> >> >> > >> >> >> > Seja B={x em IR^(n+1)/ ||x||<1} e T: B----B uma isometria. > >> >> >> Provar que T(0)=0. > >> >> >> > >> >> > > >> >> > Se T(0) = a <> 0, entao considere os pontos b e -b, simetricos em > >> >> relacao > >> >> > a origem e tais que a e b sejam LI (ou seja, b e -b nao > >> >> > pertencem a reta que passa pela origem e por a). > >> >> > > >> >> > Como b, a, -b nao sao colineares, vale a desigualdade triangular > >> >> estrita: > >> >> > |T(b) - a| + |a - T(-b)| = > >> >> > |T(b) - T(0)| + |T(0) - T(-b)| = > >> >> > |b - 0| + |0 - (-b)| = > >> >> > 2|b| = > >> >> > |2b| = > >> >> > |b - (-b)| = > >> >> > |T(b) - T(-b)| ==> contradicao. > >> >> > > >> >> > Logo, soh pode ser T(0) = 0. > >> >> > > >> >> > []s, > >> >> > Claudio. > >> >> > > >> >> > > >> >> > ========================================================================= > >> >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> >> > ========================================================================= > >> >> > > >> >> > >> >> > >> >> ========================================================================= > >> >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> >> ========================================================================= > >> >> > >> >> > >> > > >> > > >> > ========================================================================= > >> > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> > ========================================================================= > >> > > >> > >> > >> ========================================================================= > >> Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > >> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > >> ========================================================================= > >> > >> > > > > > > ========================================================================= > > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > > ========================================================================= > > > > > ========================================================================= > Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em > http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html > ========================================================================= > > ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================
