On Tue, Jun 12, 2007 at 02:55:04PM -0300, Artur Costa Steiner wrote: > Alguns estudantes me pediram ajuda numa questao e eu acabei ficando em > duvida. Tinham uma sequencia x_n de numeros reais, limitada em R, e pedia o > exercicio que se provasse que lim x_n =1. Eles analisaram a sequencia e > concluiram, corretamente, que esta, na realidade, era divergente. > > Um dos estudantes julgou que se deveria escrever que o enunciado estava > errado e que não era possível provar o pedido, simplesmente porque a > sequencia nao convergia e, portanto, nao tinha nenhum limite. Jah o outro > julgou que, de fato, lim x_n =1 por vacuidade, baseado no seguinte argumento: > como lim de x_n nao existe, este limite, por vacuidade, eh igual a qualquer > coisa. Logo, ao se provar que x_n diverge, provou-se automaticamente (por > vacuidade, eh claro), que lim x_n =1. Reforcou sua argumentacao com a > seguinte afirmacao: Se x = lim x_n, entao x =1, a qual, por vacuidade, eh de > fato verdadeira (vemos que a contrapositiva "Se x eh diferente de 1, entao x > nao eh limite de x_n" eh verdadeira). > > Eu estou na duvida, embora me pareca muito artificial aceitar, mesmo por > vacuidade, que lim x_n =1 quando x_n diverge. E isso coloca uma outra duvida: > Se quisermos negar a afirmacao lim x_n =1, entao eu, de forma natural, diria > " Ou lim x_n existe e eh diferente de 1, ou este limite nao existe". Mas e > acietarmos a vacuidade, a negacao seria simplesmente "lim x_n existe e eh > difrenete de 1". Realmente estou um tanto confuso, estava mais propenso a > concordar com o 1o estudante, mas oa argumentos do outro tambem fazem > sentido. Qual a opiniao de voces aqui na lista?
A definição usual de limite de seqüência é a seguinte: lim x_n = L <=> Para todo e > 0 existe N tq para todo n n > N -> |x_n - L| < e Se você tomar uma seqüência divergente como por exemplo, x_n = (-1)^n então a condição é falsa para todo L, em particular para L = 1. De fato, existe e > 0 (por exemplo e = 1) tal que para todo N existe n > N (basta tomar n ímpar) para o qual |x_n - L| >= e (de fato, |x_n - L| = 2 > e = 1). O que o aluno observa é que a frase Para todo L (lim x_n = L -> L = 1) é correta. Isto é verdade, mas a frase não é equivalente a lim x_n = 1 (como este exemplo ilustra). Também não é correto dizer que lim x_n = 1 vale "por vacuidade". []s, N. ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html =========================================================================