Klaus,
A solução do Nicolau é muito bonita. Tem algum detalhe em específico
que você não tenha entendido? Ele só chamou o coeficiente angular da
reta que liga os pontos (r,f(r)) e (s, f(s)) de c(r,s) para deixar a
notação um pouco mais leve, eu acho.
A idéia é que, se não existissem pontos que satisfizessem isso, então,
(f(t+a) + f(t-a))/2 > f(t), ou seja, teríamos que a reta que liga o
ponto de abscissa t-a ao ponto de abscissa t+a estaria acima do ponto
de abscissa t. Assim, a desigualdade dos coeficientes está
estabelecida (basta aplicar a definição de coeficiente angular).
Substituindo pelos pontos que o Nicolau escolheu, temos uma
contradição (pois os coeficientes angulares das retas que ligam os
pares de pontos na solução do Nicolau são inteiros, visto que são a
divisão de um inteiro por um inverso de inteiro, e entre dois inteiros
existem apenas um número finito de inteiros.)
--
Abraços,
Maurício
On 6/29/07, Klaus Ferraz <[EMAIL PROTECTED]> wrote:
Olá prof. Nicolau,
poderia ser mais claro? Entendi nada da solução do problema.
Porque vc chamou c(r,s) o coeficiente angular da reta? de onde veio isso? a
idéia q eu propus da desigualdade de jensen, nao vale?
Grato.
----- Mensagem original ----
De: Nicolau C. Saldanha <[EMAIL PROTECTED]>
Para: [email protected]
Enviadas: Sexta-feira, 29 de Junho de 2007 11:09:43
Assunto: Re: [obm-l] russia 1999
On Fri, Jun 29, 2007 at 05:26:32AM -0700, Klaus Ferraz wrote:
> (Russia-1999) Suponha f: Q-->Z, mostre que existem dois racionais
distintos
> r e s tais que (f(r)+f(s))/2<=f((r+s)/2).
Chamemos de c(r,s) o coeficiente angular da reta
que passa por (r,f(r)) e (s,f(s)).
Suponha por absurdo que falhe a conclusão do problema.
Devemos ter c(t-a,t) < c(t-a,t+a) < c(t,t+a) se a > 0.
Assim
c(-1,0) < c(-1/2,0) < c(-1/4,0) < c(-1/8,0) < ...
... < c(0,1/8) < c(0,1/4) < c(0,1/2) < c(0,1).
Mas estes coeficientes angulares são todos inteiros, o que é um absurdo.
[]s, N.
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Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.html
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