Suponhamos que x>0 seja irracional. Seja eps >0 arbitrario e seja I um
subintervalo aberto e finito de (0, oo) centrado em x. Se y for irracional
entao |f(y) - f(x)| = | 0 - 0| = 0 < eps. Se y for racional e y estiver em I,
entao podemos encontrar inteiros positivos m e n, primos entre si, tais que y =
m/n estah em I. Em todo subintervalo limitado J de (0, oo), o numero de
racionais com um dado denominador n eh finito. De fato, fazendo-se m crescer
com n fixo, m/n -> oo e sai de J. Repetindo-se este raciocinio para n
=1,2,....k em I, concluimos que, em I, hah um numero finito de racionais com
denominador n <= k. Escolhamos k > 1/eps e sejam r_1, ....r_p os racionais de
I com n <=k. Facamos d = minimo{|r_1 - x|,....|r_p - x|}. Entao, todo racional
de (x -d , x +d) apresenta n > k => 1/n < 1/k < eps => |f(y) - f(x)| = |1/n -
0| = 1/n < eps.
Para todo y de (x -d, x +d) temos, portanto, que |f(y) - f(x)| < eps, de modo
que f eh continua em x.
Suponhamos agora que x seja racional. Entao, f(x) = 1/n >0, pois x >0 e n >0.
Como em toda vizinhanca de x hah irracionais y com f(y) = 0, temos que f eh
descontinua em x.
Abracos
Artur
-----Mensagem original-----
De: [EMAIL PROTECTED] [mailto:[EMAIL PROTECTED] nome de Kleber Bastos
Enviada em: sexta-feira, 6 de julho de 2007 00:17
Para: [email protected]
Assunto: [obm-l] Descontinuidade
Seja f: ( 0, infinito )-> R ( reais )
f(x) = 1/n se x=m/n , m,n E N ( naturais ) e o mdc ( m,n) = 1
0 se x E R\Q
Mostrar que f é contínua quando x é irracional e descontínua caso x E Q.
eu pensei nisso :
(i) a E R\Q => f(0)=0
seja a_n -> 0, então
| f(a_n) - f(a) | = | f(a_n) = 0 < epson
|f(a_n)| = 1/n < epson ( não estou conseguindo analisar
a sentença com os numeros primos entre si, e provar que é verdadeira , parei
por aqui , podem me dar uma ajuda para a solução do problema acima mensinonado
?? ?? )
--
Kleber B. Bastos
