Acho que dá para acelerar um tiquinho assim: i) Caso c=9. Então N>=c^3=729; daqui a>7, e a^3>=7^3>=343. Portanto, N>=a^3+c^3>1000, absurdo.
ii) Caso c<9. Aí: N=100a+10b+c=a^3+b^3+c^3 N+1=100a+10b+(c+1)=a^3+b^3+(c+1)^3 (pois c+1 é o último dígito, sim) Subtraindo uma da outra, sai c=0 (pois c=-1 não presta). Então a gente tem que resolver: 100a+10b=a^3+b^3 ou seja a(100-a^2)=b(b^2-10). Em particular, note que o lado esquerdo é positivo, então devemos ter b>=4. Agora eu ia na força bruta (fazendo 15 ao invés de 100 contas): os possíveis valores da primeira expressão são (fazendo a=1,2,...,9): 99, 192, 273, 336, 375, 384, 357, 288 e 171. Os possíveis valores da segunda (fazendo b=4,5,6,7,8,9): 24, 75, 156, 273, 432, 639. O único elemento comum é 273, então a=3 e b=7, que nem o pessoal achou. Abraço, Ralph 2008/4/30 Henrique Rennó <[EMAIL PROTECTED]>: > Ola Joao Gabriel, > > Acredito que o numero N seja 370 e portanto a resposta e' 8, pois seus > divisores sao 1, 2, 5, 10, 37, 74, 185, 370. > > Seja N = abc, tem-se abc = a^3 + b^3 + c^3 > > 1) Se 0 <= c <= 8 entao ab(c+1) = a^3 + b^3 + (c+1)^3 > > 2) Se c = 9 e 0 <= b <= 8 entao a(b+1)0 = a^3 + (b+1)^3 > > 3) Se c = 9 e b = 9 e 1 <= a <= 8 entao (a+1)00 = (a+1)^3 > > 4) Se c = 9 e b = 9 e a = 9 entao 1000 = 1^3 > > Na condicao 1) tem-se: > > ab(c+1) - abc = a^3 + b^3 + (c+1)^3 - (a^3 + b^3 + c^3) > 1 = a^3 + b^3 + c^3 + 3c^2 + 3c + 1 - a^3 - b^3 - c^3 > 3c^2 + 3c = 0 > c(c+1) = 0 > > c = -1 nao e' possivel > > Se c = 0 deve-se testar as possibilidades. Como N termina em 0 tem-se que > a^3 e b^3 terminam em digitos que somados resulta em 10, ou seja, 1+9 ou 2+8 > ou 3+7 ou 4+6 ou 5+5. > > 1^3 = 1 > 2^3 = 8 > 3^3 = 27 > 4^3 = 64 > 5^3 = 125 > 6^3 = 216 > 7^3 = 343 > 8^3 = 512 > 9^3 = 729 > > Testando os valores de a^3 + b^3, onde os ultimos digitos de a^3 e b^3 > somados resulta em 10: > > O simbolo != significa "diferente". > > ultimos digitos: 1 + 9 ==> a = 1 e b = 9 ==> a^3 + b^3 = 1^3 + 9^3 = 1 + > 729 = 780 != 190 > ultimos digitos: 2 + 8 ==> a = 8 e b = 2 ==> a^3 + b^3 = 8^3 + 2^3 = 512 + > 8 = 520 != 820 > ultimos digitos: 3 + 7 ==> a = 7 e b = 3 ==> a^3 + b^3 = 7^3 + 3^3 = 343 + > 27 = 370 != 730 > ultimos digitos: 4 + 6 ==> a = 4 e b = 6 ==> a^3 + b^3 = 4^3 + 6^3 = 64 + > 216 = 280 != 460 > ultimos digitos: 5 + 5 ==> a = 5 e b = 5 ==> a^3 + b^3 = 5^3 + 5^3 = 125 + > 125 = 250 != 550 > ultimos digitos: 6 + 4 ==> a = 6 e b = 4 ==> a^3 + b^3 = 6^3 + 4^3 = 216 + > 64 = 280 != 640 > ultimos digitos: 7 + 3 ==> a = 3 e b = 7 ==> a^3 + b^3 = 3^3 + 7^3 = 27 + > 343 = 370 = 370 OK! > ultimos digitos: 8 + 2 ==> a = 2 e b = 8 ==> a^3 + b^3 = 2^3 + 8^3 = 8 + > 512 = 520 != 280 > ultimos digitos: 9 + 1 ==> a = 9 e b = 1 ==> a^3 + b^3 = 9^3 + 1^3 = 729 + > 1 = 730 != 910 > > Como encontramos uma resposta para o caso 1 nao seria necessario verificar > os casos 2, 3 e 4. > > Assim, N = 370. > > 2008/4/30 João Gabriel Preturlan <[EMAIL PROTECTED]>: > > > Preciso de ajuda: > > > > > > > > Um número natural N de três algarismos é igual a soma dos cubos dos seus > > dígitos. Um número N+1 tem a mesma propriedade. Qual é o número de divisores > > inteiros de N? > > > > > > > > a)4 > > > > b)6 > > > > c)8 > > > > d)12 > > > > e)16 > > > > > > > > Desde já agradeço. > > > > > > > > JG. > > > > No virus found in this outgoing message. > > Checked by AVG. > > Version: 7.5.524 / Virus Database: 269.23.6/1404 - Release Date: > > 29/04/2008 18:27 > > > > > > -- > Henrique
