Vlw douglas! Cara, não mandei pra lugar algum, acho q eles devem ter uma solução melhor que a minha, com certeza
Se invertermos o problema, dizendo que 2^2007 é múltiplo de c + x^2, e quisermos somente os valores de c no intervalo [0,2007], como seria? ----- Original Message ----- From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Thursday, May 29, 2008 9:14 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE â?" NÃVEL 3 -- 2ª questão Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ? abraços Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> escreveu: Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo: como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007 partimos de duas constatações: a) um quadrado perfeito par é divisÃvel por 4 **prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2 b) um quadrado perfeito Ãmpar é da forma 8a + 1 **prova: tome x^2 Ãmpar ==> x é Ãmpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2 1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007), incluindo o zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 partes, mesmo raciocÃnio para 3 - 2007) 2 ) no caso em que x^2 é Ãmpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja divisÃvel por 2^2007, mesmo raciocÃnio), excluindo o zero pois já foi contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, mesmo raciocÃnio para 7 - 2007) RESP: para 1503 inteiros c ----- Original Message ----- From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 -- 2Ã,ª questÃf£o rodrigo,  ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não é necessariamente igual à 2^n venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir muito resultado ... [EMAIL PROTECTED] escreveu:  vou tentar, 2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo nÃfºmero pode ser expresso como diferenÃf§a de dois quadrados, sÃf³ existem "c" tal que n possa ser um quadrado, de sorte que c seja expresso como diferenÃf§a de dois quadrados ----- Original Message ----- From: douglas paula To: obm-l@mat.puc-rio.br Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 -- 2Ã,ª questÃf£o XXIX OLIMPÃfADA BRASILEIRA DE MATEMÃfTICA TERCEIRA FASE ââ,¬â?o NÃfVEL 3 (Ensino MÃf©dio) PRIMEIRO DIA PROBLEMA 2 Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? alguém se habilita? grato,                 Douglas -------------------------------------------------------------------------------- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o Ãfºnico sem limite de espaÃf§o para armazenamento! -------------------------------------------------------------------------------- Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento! http://br.mail.yahoo.com/ ========================================================================= Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html ========================================================================= ------------------------------------------------------------------------------ Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para armazenamento!