Rafael, você está correto, eu havia visto essa falha, na verdade existe uma 
restrição para que c seja resíduo quadrático módulo 2^m, se bem me lembro ele 
deve ser da forma 4^n(8m + 1)**

quando você diz:

"digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha percebido que quadrados 
impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse que sao da forma 4a+1. 
Nao deixa de estar correto, certo?"

essa conclusão está errada, os quadrados ímpares só podem ser da forma 8a + 1, 
logo os números no intervalo seriam necessariamente desta forma

o que faltou na resolução foi considerar que realmente não são todos os números 
da forma 8a + 1, e sim os tais que "a" é um número triangular, pois 8a + 1 é 
quadrado se e somente se "a" é triangular, e devem ser resíduos quadráticos, 
assim tb os múltiplos de 4, isto é, os números da forma 4^n(8m + 1) tais que m 
seja triangular e os números sejam resíduo quadrático (então falta demonstrar 
os que são resíduo quadrático, senão, como você disse, será somente uma quota 
superior)

estou certo?

**link do wikipedia com esta afirmação 
http://en.wikipedia.org/wiki/Quadratic_residue
  ----- Original Message ----- 
  From: Rafael Ando 
  To: obm-l@mat.puc-rio.br 
  Sent: Friday, June 13, 2008 5:48 AM
  Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – Nà VEL 3 
-- 2ª questão


  hm... Rodrigo, no item 2, acho que na verdade vc quis dizer:

  8 divide c+1, entao c assume valores tais que c+1 seja multiplo de 8 e no 
intervalo [-2006, 2008] (pois eh c+1...). Conta-se o zero sim, pois ele nao foi 
contado anteriormente.... c+1=0 eh o caso c = -1, afinal... e como temos o 2008 
(c = 2007) a mais tb, sua resposta seria 1505.

  Segundo, e mais importante.... desculpe mas nao estou convencido que sua 
resolucao funcione.... digamos, apenas para ilustrar, que eu nao tenha 
percebido que quadrados impares sao da forma 8a+1, e que eu apenas utilizasse 
que sao da forma 4a+1. Nao deixa de estar correto, certo? Eu chegaria a 
conclusao que na verdade temos umas 2000 solucoes.... se a sua resposta eh 
correta, entao essa tem que estar errada, mas onde estaria o erro? Na realidade 
acredito que vc encontrou apenas um limitante superior para a solucao.... 
usando que quadrados impares sao 4a+1 daria um limitante maior, o que eh 
natural.... adicionando informacao (passando de 4a pra 8a) teriamos um 
intervalo mais preciso, mas nao incompativel.

  Dizer que 4 (ou 8) divide c (ou c+1) eh correto, mas a partir disso nao 
podemos afirmar que c (ou c+1) pode valer TODOS os multiplos possiveis.... o 
que voces acham?


  On Fri, May 30, 2008 at 2:14 AM, douglas paula <[EMAIL PROTECTED]> wrote:

    Vlw rodrigo muito maneira a sua solução. Já mandou ela pra eureka ?
                                                       abraços

    Rodrigo Cientista <[EMAIL PROTECTED]> escreveu:
      Douglas, desculpe-me, li mal o problema, a minha solução segue abaixo:
      como c + x^2 é múltiplo de 2^2007, então c + x^2 = w2^2007
      partimos de duas constatações:
      a) um quadrado perfeito par é divisível por 4
      **prova: tome x^2 par ==> x é par ==> x = 2k ==: x^2 = 4k^2
      b) um quadrado perfeito ímpar é da forma 8a + 1
      **prova: tome x^2 ímpar ==> x é ímpar ==> x é da forma 2n+1 ==> x^2 = 
(2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 4n(n+1) + 1, como n e n+1 são consecutivos, um 
deles é par, logo n(n+1) por ser escrito como 2a ==> 4n(n+1) + 1 = 8a + 1 = x^2
      1 ) no caso em que x^2 é par, temos que x^2 = 4k^2 ==> c = w2^2007 - 
4k^2, como 4 divide 2^2007 ==> 4 divide w2^2007 - 4k^2 ==> 4 divide c, logo c 
assume os valores múltiplos de 4 no intervalo [-2007, 2007] (para que sua soma 
com um x^2 suficientemente grande seja divisível por 2^2007), incluindo o 
zero, que são no total de 501 + 501 + 1 = 1003 (4 divide 2007 - 3 em 501 
partes, mesmo raciocínio para 3 - 2007)
      2 ) no caso em que x^2 é ímpar, temos que x^2 = 8a + 1 ==> c + 8a + 1 = 
w2^2007 ==> c + 1 = w2^2007 - 8a, como 8 divide w2^2007 - 8a ==> 8 divide c + 
1, logo c assume os valores que somados a 1 são múltiplos de 8 no intervalo 
[-2007, 2007] (para que sua soma com um x^2 suficientemente grande seja 
divisível por 2^2007, mesmo raciocínio), excluindo o zero pois já foi 
contado, que são no total de 250 + 250 = 500 (8 divide 2007 - 7 em 250 partes, 
mesmo raciocínio para 7 - 2007) 

      RESP: para 1503 inteiros c

      ----- Original Message ----- 
      From: douglas paula 
      To: obm-l@mat.puc-rio.br 
      Sent: Tuesday, May 27, 2008 9:44 PM

      Subject: Re: [obm-l] Re: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 
2ª questão

      rodrigo,
       ao meu ver, c + x^2 = k 2^2007 , onde k é qq natural e k 2^2007 não 
é necessariamente igual à 2^n
      venho a um bom tempo quebrando a cabeça nessa questão mas sem conseguir 
muito resultado ...
      [EMAIL PROTECTED] escreveu:

       
      vou tentar,
      2^n - x^2 = c tal qque 1< n < 2007, como todo número pode ser expresso 
como diferença de dois quadrados, só existem "c" tal que n possa ser um 
quadrado, de sorte que c seja expresso como diferença de dois quadrados 


      ----- Original Message ----- 
      From: douglas paula 
      To: obm-l@mat.puc-rio.br 
      Sent: Saturday, May 17, 2008 11:02 PM

      Subject: [obm-l] OBM TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 -- 2ª questão

      XXIX OLIMPÃADA BRASILEIRA DE MATEMÃTICA
      TERCEIRA FASE – NÃVEL 3 (Ensino Médio)
      PRIMEIRO DIA
      PROBLEMA 2

      Para quantos números inteiros c, - 2007 <= c <= 2007 , existe um inteiro 
x tal que x^2 + c é múltiplo de 2^2007? 
      alguém se habilita?
      grato, 
      Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â Â  Douglas
      
--------------------------------------------------------------------------------
      Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 

      
--------------------------------------------------------------------------------
 

      Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 


      Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento!

      http://br.mail.yahoo.com/

      =========================================================================
      Instruções para entrar na lista, sair da lista e usar a lista em
      http://www.mat.puc-rio.br/~obmlistas/obm-l.html
      =========================================================================





----------------------------------------------------------------------------
    Abra sua conta no Yahoo! Mail, o único sem limite de espaço para 
armazenamento! 



  -- 
  Rafael 

Responder a